Resumen Mat

RESUMEN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES

Alejandro Mart´ınez Acosta
Profesor Asociado
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias B´asicas
Universidad Tecnol´ogica de Pereira
Pereira, 2012

Matem´
aticas IV

Cap´ıtulo 1. Introducci´
on a las Ecuaciones Diferenciales
Definiciones y terminolog´ıa.
Ecuaci´
on diferencial
F (x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0

(1a)

y (n) = f (x, y, y ′ , . . . , y(n−1) )

(1b)

Clasificaci´
on
• Seg´
un el tipo: Ordinarias (EDO), parciales (EDP)
• Seg´
un el orden: orden 1, orden 2,. . . , orden n

• Seg´
un la linealidad
Lineales: son de la forma an (x)y (n) (x) + · · · + a1 (x)y ′ (x) + a0 (x)y(x) = g(x)
No lineales: No tienen la forma anterior.

Soluciones
• Expl´ıcita: y = φ(x), x ∈ I que satisface (1a) o (1b).

• Impl´ıcita: G(x, y) = 0 con y = φ(x), x∈ I.

• Familia expl´ıcita: y = φ(x, c1 , c2 , . . . , cn ) con c1 , c2 , . . . , cn constantes.

• Familia impl´ıcita: G(x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0 con c1 , c2 , . . . , cn constantes.

• Soluci´on singular: Soluci´on que no hace parte de la familia de soluciones.

Problema de valor inicial
Resolver F (x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0
Sujeto a y(x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1)(x0 ) = yn−1
Teorema 1 (Teorema de existencia y unicidad (TEU)). Considere el PVI de primer orden
dy
= f (x, y);
dx

y(x0 ) = y0 .

(2)

angulo R = {(x, y) | a < x < b, c < y < d} que
Si f (x, y) y ∂f
∂y (x, y) son funciones continuas en un rect´
contiene al punto (x0 , y0 ), entonces el problema de valor inicial (2) tiene una u
´nica soluci´on φ(x) en
alg´
un intervalo I tal que x0 − h < x < x0 +h, donde h es un n´
umero real positivo.

Ecuaci´
on diferencial de una familia de curvas
1. Si G(x, y) = c define a y como una funci´on diferenciable de x en alg´
un intervalo I, entonces
dy
Gx
= − , Gy = 0 ´o Gx dx + Gy dy = 0
dx
Gy
2. Si F (x, y, c) = 0 define a y como una funci´on diferenciable de x en alg´
un intervalo I, se despeja c y
se usa la parte 1.
Alejandro Mart´ınez A.

2Cap´ıtulo 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden.
Ecuaci´on diiferencial que tiene cualquiera de las siguientes formas
F (x, y, y ′ ) = 0
dy
= y ′ = f (x, y)
dx
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(3a)
(3b)
(3c)

Ecuaciones de variables separables
Son de la forma:
dy
= A(x)B(y)
dx

o

M (x)dx + N (y)dy = 0

Ecuaciones lineales.
Son de la forma
dy
+ p(x)y = f (x)
dx
dx
+ p(y)x = f (y)
dy

(4a)
(4b)

Pararesolver (4a) se busca un factor integrante de la forma
µ(x) = e

p(x)dx

.

Una familia de soluciones de (4a) es
y(x) = [µ(x)]−1

f (x) µ(x)dx + C

Ecuaciones exactas.
La ecuaci´
on diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es exacta si
∂N
∂M
=
.
∂y
∂x

Condici´on de compatibilidad

Par resolver una ecuaci´
on diferencial exacta se busca una funci´on F (x, y) tal que
∂F
= M (x, y)
∂x
∂F
= N (x, y)
∂y(5a)
(5b)

De (5a) y (5b) se obtiene F (x, y). Una famila de soluciones de la ecuaci´
on diferencial est´a dada por
F (x, y) = c.
3

Alejandro Mart´ınez A.

Matem´
aticas IV

Factores integrantes especiales.
Cuando
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(6)

µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0,

(7)

no es exacta, pero
si lo es, entonces µ(x, y) es un factor integrante de (6).
Para encontrar un factorintegrante, se usa la condici´
on de compatibilidad. Es decir,
∂
∂
(µN ) =
(µM ),
∂x
∂y
es decir,

∂N
∂µ
∂M
∂µ
+N
=µ
+M
.
(8)
∂x
∂x
∂y
∂y
Como en general es muy dif´ıcil resolver una ecuaci´
on en derivadas parciales, se consideran algunos casos
particulares:
µ

Caso I: µ(x, y) = xn y m , donde n y m se encuentran usando (8).
Caso II: µ = µ(z) con z = h(x, y) para alguna funci´on h adecuada. Parahallar dicho factor integrante,
se usa la condici´
on (8) y la regla de la cadena:
dµ ∂z
dµ
∂µ
=
= zx
∂x
dz ∂x
dz
dµ ∂z
dµ
∂µ
=
= zy
µy =
∂y
dz ∂y
dz

µx =

(9a)
(9b)

Algunas opciones para z son: (i) z = x, (ii) z = y, (iii) z = x + y, (iv) z = x − y, (v) z = xy, (vi)
z = x2 + y 2 y (vii) z = x2 − y 2 . Para cada uno de estos casos se sustituye (9a) y (9b) en (8), se
dµ
despeja
= P (z)dz...