Resumen Materiales De Ingenieria

´ Pontificia Universidad Catolica de Chile ´ Escuela de Ingenier´ Mecanica ıa

Apunte Propiedades y resistencia de Materiales

Gabriela Bravo Illanes
El siguiente apunte se basa en las clases del profesor Jorge Ramos y Jose Almazan, adem´s en el libro CAa LLISTER, William. Introducci´n a la ciencia e ingenier´ de los materiales. Barcelona. Revert´. 1997 o ıa e

Cap´ ıtulo 1Comportamiento mec´nico El´stico a a
1.1. Esfuerzos Normales y Axiales a una viga

Son fuerzas por unidad de ´rea. Su valor depende tanto del punto en el espacio en que se mide y la a orientaci´n del ´rea que se considera. o a

Tensi´n σ o La tensi´n (σ) es la fuerza por unidad de ´rea que act´a de forma perpendicular al ´rea (F = o a u a En este caso N es la fuerza axial a la viga N=
Ω Ω

σ dΩ).σx dΩ

Con Ω La cara cuya normal es x. Esfuerzo de Corte τ El esfuerzo de corte es la fuerza por unidad de ´rea paralela a la cara. Se denominan τa b con a la normal a a la cara en la que act´a y b la direcci´n. En este caso V es la fuerza que aparece paralela a la cara de la u o viga. Vy =
Ω

τxy dΩx

Vz =
Ω

τxz dΩx

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1.2.

Momentos flector y torsor

El esfuerzo axial (σx )genera momento flector (su brazo en y), o puede flechar en la direcci´n de z o cuando el brazo es z. Mf lector = r × σdΩ
Ω

los esfuerzos de corte generan el momento torsor. r=distancia del centro al punto. Mf lector =
Ω

r × τ dΩ

1.3.

Transformaci´n de Coordenadas o

Si conocemos el estado de esfuerzos de un punto en una orientaci´n dada, podemos conocer su estado en o otraorientaci´n girada un ´ngulo α. Esto es importante ya que as´ podemos encontrar la direcci´n en que o a ı o siente una mayor tensi´n unitaria de corte, en la cual se rompe el material. o A continuaci´n se explica para el caso 2D. o

Forma matricial σx τxy τxy cosα = σy −sinα sinα cosα σx τxy τxy σy cosα sinα −sinα cosα

σ = QT σQ La igualdad anterior es v´lida tambi´n para el caso 3D. a e Ecuaciones Dela multiplicaci´n de las matrices se derivan las siguientes f´rmulas o o σx = σx cos2 α + σy sin2 α + 2τxy sinα cosα σy = σx sin2 α + σy cos2 α − 2τxy sinα cosα τxy = τxy (cos2 α − sin2 α) + (σy − σx )sinα cosα 4
Gabriela Bravo Illanes

Circulo de Mohr Las ecuaciones anteriores con unos ajustes, describen un circulo. Esta manera es la m´s f´cil de conseguir a a el estado de tensiones de unpunto al considerar otra inclinaci´n de la superficie. o Del eje horizontal(generalmente el eje x) se traza una vertical hacia abajo si τxy es positivo, hacia arriba si es negativo. Se calcula el centro y el radio del circulo. Cada giro de la figura se realiza en el mismo sentido si se ha dibujado el circulo de esta forma.

Centro = ( Radio = (

σx + σy , 0) 2

σx − σy 2 2 ) + τxy 2 τxy ) (σx − σy)/2

Tensiones principales, φ ´ngulo rotaci´n antihorario con los ejes principales a o σ1 = C + R Esfuerzo de corte m´ximo a τmax = R Tensiones en un giro θ antihorario a partir de los ejes x e y σx = C + Rcos(2φ − 2θ) σy = C − Rcos(2φ − 2θ) τxy = sen(2φ − 2θ) σ2 = C − R 2φ = tan−1 (

En 3D, se colocan 3 c´ ırculos de Mohr, uno por cada cara (Cara con normal x, normal y, normal z)

5Gabriela Bravo Illanes

1.4.

Direcciones principales

Las direcciones principales son en las que no hay esfuerzos de corte (τ = 0). Los valores de las tensiones en dicha orientaci´n se conocen como tensiones principales o

Forma matricial σx τxy τxy σy nx n = σn x ny ny ⇒ (σ − λI)ˆ = 0 n

σˆ = λˆ n n

Es decir, los valores propios de la matriz son los valores en la direcci´n principal.El vector n es la normal a o ˆ la superficie buscada. Circulo de Mohr En el Circulo de Mohr las tensiones principales corresponden a donde corta el circulo en los ejes principales (σ1 y σ2 )

1.5.

Deformaci´n unitaria o

o Sea u(x, y, z) El desplazamiento en la direcci´n ˆ de un punto ubicado en (x,y,z) antes de la deformaci´n, o i v(x, y, z) en la direcci´n ˆ y w(x, y, z) en la direcci´n...