Resumen mecánica vectorial para ingenieros centros de gravedad y momentos de inercia

Centro de gravedad en el plano.
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dichocuerpo.
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
Paso 1: Considerar una figura 2D arbitraria. | |
Paso 2: Suspéndase la figura desde un punto cercano a una arista. Marcar con línea vertical con una plomada. | |Paso 3: Suspéndase la figura de otro punto no demasiado cercano al primero. Marcar otra línea vertical con la plomada. La intersección de las dos líneas es el centro de gravedad. | |
El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

La primerascoordenadas del primer elemento se representan con X1 y Y1 las del segundo elemento se representan con X2 y Y2 las fuerzas ejercidas por la tierra sobre los elementos de la placa son representadas, respectivamente:

Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la tierra, sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas, por lo tanto suresultante, es una sola fuerza en una sola dirección.
La magnitud W de esta fuerza se sostiene a partir de la suma de magnitudes de los pesos de los elementos.

Para obtener las coordenadas x y y del punto G donde debe aplicarse la resultante W , se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes x y y, son iguales a la suma, de los momentos correspondientes de los pesos elementales.Centroides de áreas y líneas

En el caso de una placa plana homogénea, del espesor uniforme la magnitud , del peso de un elemento de la placa puede expresarse como :

En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como:

Donde A es el área total de la placa.

En el caso de un alambre homogéneo, de sección transversal uniforme, la magnitud del peso de un elementode alambre puede expresarse como:

Primeros momentos de áreas y líneas

A partir de unas ecuaciones se concluye que las coordenadas, del centroide de un área pueden obtenerse, al dividir los primeros momentos, de dicha área entre la misma, los primeros momentos de un área también son útiles en la mecánica de materiales para determinar los esfuerzos de cortes en vigas, sujetas a cargastransversales



La determinación, de los centroides, de las áreas asimétricas, y de líneas, que poseen un solo eje de simetría, se muestra los centroides de formas comunes, de estas figuras:

Momentos de inercia de áreas.

Se estudian las fuerzas distribuidas cuyas magnitudes de son proporcionales a los elementos de área de sobre los cuales actúan dichas fuerzas, que al mismo tiempo,varían linealmente, con la distancia que hay, desde hasta el eje dado.

Determinación del momento de inercia de un área por integración.

Las siguientes integrales son conocidas como, los momentos rectangulares, de inercia del área A, se pueden evaluar con facilidad, si se selecciona, a dA como una tira delgada paralela, de uno de los ejes coordenados, para calcular la tira se selección paralela,al eje x de manera que todos los puntos, de dicha tira estén a la misma distancia y del eje x de la tira multiplicando su área de dA por para calcular la tira se selecciona, paralela al eje y de forma que todos los puntos de dicha tira estén en la misma distancia x del eje y, así el momento de inercia de la tira es .

Momento de inercia de un área rectangular.

Como ejemplo se procederá...