Resumen Metodos Numericos

9.1 Método gráfico
Para dos ecuaciones se puede obtener una solución al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro a x2. Debido a que en estos sistemas lineales, cada ecuación se relaciona con una línea recta, lo cual se ilustra fácilmente mediante las ecuaciones generales
a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
En ambas ecuaciones se puede despejar x2:
De estamanera, las ecuaciones ahora están en la forma de líneas rectas; es decir, x2 = (pendiente) x1 + intersección. Tales líneas se grafican en coordenadas cartesianas con x2 como la ordenada y x1 como la abscisa. Los valores de x1 y x2 en la intersección de las líneas representa la solución.
Para tres ecuaciones simultáneas, cada ecuación se representa como un plano en un sistema de coordenadastridimensional. El punto en donde se intersecan los tres planos representa la solución. Para más de tres incógnitas, los métodos gráficos no funcionan y, por consiguiente, tienen poco valor práctico para resolver ecuaciones simultáneas. No obstante, resultan útiles para visualizar propiedades de las soluciones. Por ejemplo, la figura 9.2 muestra tres casos que pueden ocasionar problemas al resolversistemas de ecuaciones lineales. La figura 9.2a presenta el caso en que las dos ecuaciones representan líneas paralelas. En estos casos no existe solución, ya que las dos líneas jamás se cruzan. La figura 9.2b representa el caso en que las dos líneas coinciden. En éste existe un número infinito de soluciones. Se dice que ambos tipos de sistemas son singulares. Además, los sistemas muy próximos a sersingulares (figura 9.2c) también pueden causar problemas; a estos sistemas se les llama mal condicionados. Gráficamente, esto corresponde al hecho de que resulta difícil identificar el punto exacto donde las líneas se intersecan. Los sistemas mal condicionados presentan problemas cuando se encuentran durante la solución
9.1.2 Determinantes y la regla de Cramer
La regla de Cramer es otra técnica desolución adecuada para un sistema pequeño de ecuaciones. Antes de hacer una descripción de tal método, se mencionará en forma breve el concepto de determinante que se utiliza en la regla de Cramer. Además, el determinante tiene relevancia en la evaluación del mal condicionamiento de una matriz.
Determinantes. El determinante se puede ilustrar para un sistema de tres ecuaciones simultáneas:
[A]{X}= {B}
donde [A] es la matriz de coeficientes
|a11 a12 a13|
[A]= |a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|

El determinante D de este sistema se forma, a partir de los coeficientes del sistema, de la siguiente manera:

|a11 a12 a13|
D = |a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|

Aunque el determinante D y la matriz de coeficientes [A] se componen de los mismos elementos, sonconceptos matemáticos completamente diferentes. Por esto, para distinguirlos visualmente se emplean corchetes para encerrar la matriz y líneas rectas verticales para el determinante. En contraste con una matriz, el determinante es un simple número. Por ejemplo, el valor del determinante de segundo orden

D = |a11 a12|
|a21 a22|
Se calcula como
D = a11a22 – a12a2l
En el caso del determinante detercer orden [ecuación (9.2)], el determinante, que es un simple valor numérico, se calcula así

D = a1|a22 a23| + a12|a21 a 23| + a13|a21 a23|
| a32 a33| |a31 a32| |a31 a32|

Donde a los determinantes de 2 por 2 se les llama menores

Regla de Cramer. Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como unafracción de dos determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes b1, b2, …, bn. Por ejemplo, x1 se calcula como
Para más de tres ecuaciones, la regla de Cramer no resulta práctica, ya que, conforme aumenta el número de ecuaciones, los determinantes consumen tiempo al evaluarlos...