Resumen Métodos De Diferencias Finitas Incrópera

Las soluciones analíticas a problemas transitorios se restringen a geometrías simples y condiciones de frontera, como las consideradas en las secciones anteriores. Sin embargo, en muchos casos la geometría y/o las condiciones de frontera evitan el uso de las técnicas analíticas, y hay que recurrir a los métodos de diferencias finitas. Estos métodos abarcan fácilmente problemas transitorios. Enesta sección consideramos las formas explícitas e implícitas de las soluciones en diferencias finitas para problemas de conducción transitoria.

Discretización de la ecuación de calor: método explícito
Una vez más consideramos el sistema bidimensional de la figura 4.5. En condiciones transitorias con propiedades constantes y sin generación interna, de la forma apropiada de la ecuación de calores (5.67)
1∝∂T∂t=∂2T∂x2+∂2T∂y2
Para obtener la forma en diferencias finitas de esta ecuación, podemos usar las aproximaciones de diferencia central para las derivadas espaciales establecidas por las ecuaciones anteriores. Una vez más los subíndices m y n sirven para designar las posiciones x y y de los puntos nodales discretos. Sin embargo, además de discretizar el espacio, el problema debe dediscretizarse en el tiempo. En el entero p se introduce con este propósito, donde
t=p∆t (5.68)
y la aproximación en diferencias finitas para la derivada respecto al tiempo en la ecuación 5.67 se expresa como
∂T∂tm,n≈ Tm,np+1-Tm.np∆t

El superíndice p se utiliza para denotar la dependencia con respecto al tiempo de T, y la derivada con respecto altiempo se expresa en términos de la diferencia en temperaturas asociadas con los tiempos nuevo (p+1) y anterior (p) . Por ello los cálculos deben llevarse en tiempos sucesivos separados por el intervalo ∆t, y como una solución en diferencias finitas restringe la determinación de temperaturas a puntos discretos en el espacio, también la restringe a puntos discretos en el tiempo.
Si la ecuación 5.69se sustituye en la ecuación 5.67, la naturaleza de la solución en diferencias finitas dependerá del tiempo específico al que se evalúan las temperaturas en las aproximaciones en diferencias finitas para las derivadas espaciales. En el método explícito de solución, estas temperaturas se evalúan en el tiempo anterior (p). Por esto, la ecuación 5.69 se considera que es una aproximación en diferenciashacia delante para la derivada respecto al tiempo. La forma explícita de la ecuación en diferencias finitas por el nodo interior m, n es
1α∙Tm,np+1-Tm.np∆t=Tm+1 ,np+Tm-1. np-2Tm,np∆t2+Tm ,n+1p+Tm. n-1p-2Tm,np∆t2
Al resolver para la temperatura nodal en el tiempo nuevo (p+1) y suponer que ∆x=∆y, se sigue que
Tm,np+1=FoTm+1,np+Tm-1,np+Tm,n+1p+Tm,n-1p+(1-4Fo)Tm,np
Donde Fo es una forma endiferencias finitas del número de Fourier
Fo=α∆t∆x2
Si el sistema unidimensional en x, la forma explícita de la ecuación en difrencias finitas para un nodo interior m se reduce a
Tm,np+1=FoTm+1p+Tm-1p+1-2FoTmp
Las ecuaciones 5.71 y 5.73 son explícitas pues las temperaturas nodales desconocidas para el tiempo nuevo se determinan de manera exclusiva mediante temperaturas nodales conocidas en eltiempo anterior. Por ello el cálculo de las temperaturas desconocidas es directo. Como se conoce la temperatura de cada nodo anterior t=0(p=0) de las condiciones iniciales establecidas, los cálculos comienzan en t=∆t(p=1), donde la ecuación 5.71 y 5.73 se aplica a cada nodo interior para determinar su temperatura. Con temperaturas conocidas para t=∆t, la ecuación en diferencias finitas apropiada seaplica entonces a cada nodo para determinar su temperatura en t=2∆t(p=2). De esta forma, la distribución transitoria de temperaturas se obtiene al avanzar en el tiempo, con el uso de intervalos ∆t.
La precisión de la solución en diferencias finitas se mejora disminuyendo los valores de ∆x y ∆t. Por supuesto, el número de intervalos de tiempo que se requieren para llevar la solución a un tiempo...