Resumen Sucesiones

Ismael García Buzeta

Resumen de Sucesiones 1. Sucesión: Colección de números dispuestos uno a continuación de otro. Función cuyo dominio es el conjunto N .  Término General: Fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa (n). Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por a n y se hablará de término n-ésimo.
lima n  L
n 



Si

, se dice que an tiende a L o converge a L.



Si

lim a n  
n 

, se dice que an diverge.



Si an diverge y bn converge  an + bn diverge.



an se dice que es oscilante si no es convergente ni divergente.

 Si una sucesión es monótona (conserva el orden dado) creciente o decreciente tiene límite.  Si una sucesión es monótona y acotada,entonces converge.



Si

an  L 

Toda subsucesión converge a L.



Si

an converge  a n es acotada.

 an está acotada superiormente si existe un número k tal que cualquier término de la sucesión es menor o igual que k (k = cota superior).

an está acotada inferiormente si existe un número k tal que cualquier término de  la sucesión es mayor o igual que k (k = cotainferior).

Ismael García Buzeta



lim a n  lim bn n Si an  bn  n .

Teorema del “sandwich”: Para encontrar el límite de una sucesión bn , elegimos   dos sucesiones, una menor a n  y otra mayor c n que tengan el mismo límite L  : 

a n  bn  c n
n 

lim 
n  n 



lim a n   lim bn   lim c n  L  lim bn   L
n  n 

lim bn   L
n 

lim a n 0  an es un infinitésimo si n lim a n  0  n   a n  bn  lim bn  0  a n ·bn  n        c n converge   a n ·c n   lim d  0  k·a  n  n   n  k  R  d n  L     Si  son infinitésimos.



Sucesión de Fibonacci:

an  an1  an2 , con : a0  0, a1  1
lim a n  L
n 

2. Límite por definición, para cuando el índice tiende a infinito:   0, n0  N : n  n0 , an  L  
 4n  2  4 lim   n  3n  5   3 Ejemplo: Demostrar por definición que Solución: Borrador:

4n  2 4   3n  5 3 34n  2  43n  5  33n  5

Ismael García Buzeta

 14  9n  15 14  9n  15 14  9n  15 14  15   n 9 14 5  14 5    n  n0      1 9 3  9 3 
Solución formal: 14 5  14 5    n0      1  n 9 3  9 3 14 5  n 9 3 14 3n  5  9 3 14  3n  5 3 14  33n  5

 14  33n  5 4n  2 4  4n  2  4     lim   n   3n  5 3n  5 3   3

3. Propiedades de los Límites:
lim k  k
n 

   

,(k = constante)
n

lim kan  k lim an
n

lim n  a
n a

lim

n 

1 0 n
n



1  k lim 1    lim 1  k·n  n  e k , e  2,7182818... n  n 0  nIsmael García Buzeta

 

lim an  bn   lim an  lim bn
n n n

lim an ·bn   lim an ·lim bn
n n n

  

lim r n  0 n  r 1  n lim n·r  0 n  Sea

lim n n p  1
n 

lim n n!  
n 

 

 n   2 lim   cos n 2    n

  2  sin   n

   

lim an  lim an1  L    n Para sucesiones recursivas an1  f an ,asumir n y luego lim an1   lim  f an  n aplicar límite a la recursión: n



0  0  0 Límites Indeterminados:    ; 0· ; 0 ;  ;  ; 0 ó 1

4. Sumatoria: Operador que permite representar sumas muy grandes, de n sumandos o incluso sumas infinitas y se expresa con la letra griega sigma (  ).



k m

x
5 k 1

n

k

 xm  xm1  xm 2  ...  xn1  xn

.

k  1  2  3  4  5  15
 La variable k es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior m  . k recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior n  . 

Necesariamente se debe cumplir que m  n .



k 
k 1

n

nn  1 2

Ismael García Buzeta



k
k 1
n

n

2



n·n  12·n  1 · 6
2



 nn ...