Resumen M Todos Cl Sicos De Resoluci N De Ecuaciones Diferenciales

´
´
´ DE
METODOS
CLASICOS
DE RESOLUCION
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
• ECUACIONES EXPL´ICITAS DE PRIMER ORDEN.
Es decir, de la forma
y = f (x, y).
1. Variables separadas.
Son de la forma
g(x) = h(y)y .
dy
en g(x) dx = h(y) dy y se integra.
Formalmente, se separa g(x) = h(y) dx

2. Ecuaci´
on de la forma y = f (ax + by).
El cambio de funci´
on y(x) por z(x) dado por z = ax + by latransforma en una de
variables separadas.
3. Homog´
eneas.
Son de la forma

y
.
x
Se hace el cambio de funci´
on y(x) por u(x) mediante y = ux, transform´andose as´ı la E. D.
en una de variables separadas.
y =f

3 . Reducibles a homog´
eneas.
Son de la forma
y =f

a1 x + b1 y + c1
ax + by + c

.

3 .1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 se cortan en (x0 , y0 ), se hace
el cambio devariable y de funci´
on X = x − x0 , Y = y − y0 . La ecuaci´on se reduce a una
homog´enea.
3 .2. Si ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 son rectas paralelas, se hace el cambio
de funci´on z = ax + by. La nueva ecuaci´on que aparece es de variables separadas.
3 . Homog´
eneas impl´ıcitas.
Son de la forma

y
, y = 0.
x
Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representaci´on param´etricaα = ϕ(t), β = ψ(t), F (ϕ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de funci´on y por t mediante
y
ı, derivando y = xϕ(t) respecto de x, aparece una ecuaci´on en
x = ϕ(t), y = ψ(t). As´
variables separadas.
F

3 . Si la ecuaci´
on y = f (x, y)
es tal que, para alg´
un α = 0 fijo, f satisface
f (λx, λα y) = λα−1 f (x, y),
entonces el cambio de funci´
on y = z α transforma la ecuaci´on en una homog´enea. (Si α= 1,
la E. D. ya es homog´enea; y si f cumple la relaci´on anterior con α = 0, la E. D. es de
variables separadas.)
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4. Ecuaciones exactas.
Son las de la forma
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
P (x,y)
dy
es decir, y = dx
= − Q(x,y)
, que cumplen Py = Qx . Se busca una funci´on F (x, y) tal que
dF = ω = P dx + Q dy, y la soluci´
on de la E. D. es F (x, y) = C (siendo C constante).

4 . Reduciblesa exactas: Factores integrantes.
Si P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar encontrar µ(x, y) tal
que
µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0
sea exacta.
4 .1. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Ocurre cuando
tom´andose µ(x) = exp( h(x) dx).
4 .2. Existencia de factor integrante de la forma µ(y). Ocurre cuando
tom´andose µ(y) = exp( h(y) dy).
4 .3. Otrasexpresiones restrictivas para µ(x, y).

Py −Qx
Q

= h(x),

Qx −Py
P

= h(y),

5. Ecuaciones lineales de primer orden.
Son de la forma
y + a(x)y = b(x).
Hay tres m´etodos de resoluci´
on: (i) Encontrar un factor integrante de la forma µ(x).
(ii) Resolver la ecuaci´
on lineal homog´enea asociada y + a(x)y = 0 (que es de variables
separadas), cuya soluci´
on es y = C exp(− a(x) dx), y usar el m´etodo devariaci´on de
las constantes (esto es, cambiar C por C(x) en la expresi´on anterior y sustituir en la
ecuaci´on lineal). (iii) Encontrar de alguna forma una soluci´on particular yp (x), con lo cual
la soluci´on general de la lineal es yp m´as la soluci´on general de la homog´enea asociada.
(iv) Descomponer y(x) = u(x)v(x), sustituir en la lineal, e igualar a 0 el coeficiente de u,
resolviendo laecuaci´
on que aparece (v + a(x)v = 0, que es de variables separadas); tras
esto, queda una ecuaci´
on en u(x) de variables separadas.
De cualquier modo se obtiene que la soluci´on general de la E. D. lineal es
y = exp −

a(x) dx

b(x) exp

a(x) dx

dx + C .

5 . Ecuaci´
on de Bernoulli.
Es de la forma
y + a(x)y + b(x)y α = 0.
Si α = 0 es lineal, y si α = 1, de variables separadas. En otro caso, sehace el cambio de
funci´on y 1−α = z, con lo que la E. D. de Bernoulli se transforma en una lineal. Un segundo
m´etodo de resoluci´
on es el siguiente: se descompone y(x) = u(x)v(x) y se sustituye en
la E. D., se iguala a 0 el coeficiente de u (queda v + a(x)v = 0, que es de variables
separadas), lo que nos lleva a determinar v, apareciendo ahora una ecuaci´on en u(x) de
variables separadas.
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