Resumen

RESUMEN
DISTRIBUCIONES DISCRETA Y CONTINUA

Distribución Uniforme Discreta:

μ = i=1kxik σ = i=1k(xi-u)2k

f(x; k) = 1k x = x1, x2, ..., xk


Proceso de Bernoulli: Si se habla con exactitud, el proceso de Bernoulli debe tener las siguientes propiedades:
1. El experimento consiste en n pruebas que se repiten.
2. Cada prueba produce un resultado que se puede clasificar comoéxito o fracaso.
3. La probabilidad de un éxito. que se denota con p, permanece constante en cada prueba.
4. Las pruebas que se repiten son independientes.

Distribución Binomial: Se denota como b(x; n, p). Pues dependen del número de pruebas y de la probabilidad de X.
Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1 –p. Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X. El número de éxitos en n pruebas independientes, es:
b(x; n, p) = nxpxqn-x, x = 0, 1, 2, …, n.
Media y Varianza:
μ = np σ2 = npq

Ejemplo 1: La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque dada es 3/4. Encuentre la probabilidad de que sobrevivan exactamente dos de lossiguientes cuatro componentes que se prueben.
p = 3/4 b(2; 4, 3/4) = 42(3/4)2(1/4)4-2, x = 2
n = 4
x = 2 b(2; 4, ¾) = 6 * 9/16 * 1/16 = 27/128 = 0.2109

Ejemplo 2: La probabilidad que un paciente se recupere de una enfermedad es de 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen ésta enfermedad. Cuál es la probabilidad de que a) Sobrevivan al menos 10, b) Sobrevivan de 3 a 8 y c) Sobrevivanexactamente 5.

a) P(x≥10) = 1 – P(x < 10)
1 – 0.9662 = x=09b(x, 15, 0.4)
0.0338

b) P(3≤x≤10) = x=38b(x, 15, 0.4)
x=08b(x, 15, 0.4) - x=02b(x, 15, 0.4)
0.9050 - 0.0271 = 0.8779
c) P(x = 5) = b(5; 15, 0.4) = 155(0.4)5(0.6)15-5,
b(5; 15, 0.4) = 3003 * 0.01024 * 0.0060466176 = 0.1859
Experimentosmultinomiales: El experimento binomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene más de dos resultados posibles.
Distribución multinomial: Si una prueba dada puede conducir a los k resultados E1, E2, ... , Ek con probabilidades p1, p2, ... , pk, entonces la distribución de probabilidad de las variables aleatorias X1, X2, ... Xk en n pruebas independientes es:
f(X1, X2, ...Xk; p1, p2, ... , pk , n) = nX1, X2, ... Xk;P1x1P2x2 ... Pkxk
con i=1kxi=n y i=1kpi=1
Ejemplo: Se lanza 6 veces un par de dados, cuál es su probabilidad de obtener 7 u 11 dos veces, un par igual y cualquier combinación 3 veces.
a) 7 u 11
*p1 =
7 = (1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3) = 6/36 = 1/6
11 = (6,5)(5,6) = 2/36 = 1/18
1/6 + 1/18 = 2/9

*P2 =(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6) = 6/36 = 1/6
*p3 = 1 – 1/6 – 2/9 = 11/18
= 62,1,3(2/9)2(1/6)1(11/18)3 60 (2/81) (1/6) (11/5832) = 0.1127
Distribución Hipergeométrica: La podemos diferenciar de la distribución binomial en la forma en la que se realiza el muestreo. Nos interesamos en el cálculo de probabilidades para el número de observaciones que caen en una categoría particular. No requiere independencia y se basa en elmuestreo que se realiza sin reemplazo.
1. Se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n de N artículos.
2. k de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y N – K se clasifican como fracasos.
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos de los que kse denominan éxito y N – k fracaso, es
h(x; N, n, k) kx N-kn-x x = 0, 1, 2 ... , n.
Nn

n = Tamaño de la muestra N = Población K = Éxitos

Ejemplo 1: Se selecciona al azar un comité de cinco personas entre tres químicos y cinco físicos. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de químicos en el comité.
N = 8 h(0; 8, 5, 3) 30 8-35-0 = 30 55...