resumen

Resumen del tema 3
Repaso de funciones. Una funci´
on real f es una manera de asignar a cada n´
umero x de un
conjunto A ⊂ R otro n´
umero real f (x) ∈ R. Normalmente se escribe f : A −→ R o f : A −→ B
si se quiere especificar donde est´an los resultados.
Al conjunto A se le llama dominio de f y al conjunto Im(f ) = {f (x) : x ∈ A} se le llama
imagen de f .
Ejemplo: La funci´on f (x) =21 + |x − 1|, f : R −→ R cumple Im(f ) = [21, +∞).
Se dice que una funci´on f : A −→ B es:
inyectiva si f (x) = f (y) u
´nicamente cuando x = y.
sobreyectiva (o suprayectiva) si Im(f ) = B.
biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
En general no se puede decidir de qu´e tipo es una funci´on sin especificar d´onde est´a definida.
Por ejemplo, f (x) = x2 no es ni inyectiva ni sobreyectivacuando se considera como funci´on
f : R −→ R porque f (1) = f (−1) y −1 ̸∈ Im(f ). Sin embargo es biyectiva considerada como
funci´on f : R+ −→ R+ .
Componer dos funciones f : A −→ B y g : B −→ C consiste
en
(
) sustituir la primera en la
segunda. Es decir, la composici´
on de g y f es (g ◦ f )(x) = g f (x) .
Una funci´on f : A −→ B es biyectiva si y s´olo si existe una funci´on f −1 : B −→A, llamada
funci´
on inversa de f , tal que (f −1 ◦ f )(x) = x para x ∈ A y (f ◦ f −1 )(x) = x para x ∈ B.
En la pr´actica la f´ormula para f −1 se obtiene despejando la y en x = f (y).
Ejemplo: Sabiendo que la funci´on f : (0, +∞) −→ (1, +∞) dada por f (x) = (x + 1)/x es
biyectiva, hallar su funci´on inversa.
Despejando en (y + 1)/y = x se tiene 1 + 1/y = x y de aqu´ı y = 1/(x − 1) por tantof −1 (x) = 1/(x − 1).
L´ımites. Para una funci´on f : R −→ R se puede definir l´ımx→+∞ f (x) exactamente igual
que para sucesiones, es decir, el l´ımite es l si por peque˜
no que sea ϵ > 0 para x mayor que
cierto valor se cumple |f (x) − l| < ϵ. Sim´etricamente se define l´ımx→−∞ f (x) donde ahora se
exige que x sea negativo. Cuando no hay duda en el signo se escribe l´ımx→∞ f (x).
De lamisma forma se define l´ımx→a f (x) como el valor al que se acerca f (x) cuando x se
acerca a a y es distinto de ´el. En t´erminos matem´aticos, l = l´ımx→a f (x) cuando para todo
ϵ > 0 cualquier x ̸= a suficientemente cercano a a cumple |f (x) − l| < ϵ.
Finalmente, se consideran tambi´en los l´ımites laterales l´ımx→a− f (x) y l´ımx→a+ f (x) que
consiste en restringirse en la definici´on del´ımite a x < a y a x > a, respectivamente.
El l´ımite l´ımx→a f (x) existe si y s´olo si los limites laterales existen y coinciden.

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(
)
Ejemplo: Las funciones f (x) = x/|x| y g(x) = 1/ 1 + e1/x , definidas fuera de x = 0,
verifican l´ımx→0− f (x) = −1, l´ımx→0+ f (x) = 1, l´ımx→0− g(x) = 1 y l´ımx→0+ g(x) = 0. Por
tanto no existen l´ımx→0 f (x) ni l´ımx→0 g(x).
Como en el caso de losl´ımites de sucesiones, los l´ımites de funciones respetan las operaciones
elementales (excluyendo la divisi´on por cero). Todo lo dicho con respecto a las indeterminaciones se aplica aqu´ı.
Dos l´ımites del tipo 0/0 que permiten calcular l´ımites m´as complicados son:
sen x
=1
x→0 x
l´ım

log(1 + x)
= 1.
x→0
x

y

l´ım

N´otese que el segundo es el l´ımite del n´
umero e tomandologaritmos tras el cambio n ↔ 1/x.
Ejemplo:
(
)
(
)
x
x
sen x2x+1
sen x2x+1
1
x2 +1
x2 +1
l´ım
= 1.
= l´ım
= l´ım
= l´ım
x
3
3
3
2
x→0 x + 2x
x→0
x→0 x + 2x
x→0 (1 + 2x )(x2 + 1)
x + 2x
x2 +1
Continuidad.

Se dice que una funci´on f es continua en a si verifica
l´ım f (x) = f (a).

x→a

En particular esto requiere que la funci´on est´e definida en el punto y queel l´ımite exista. Por
las propiedades de los l´ımites las operaciones elementales (excluyendo la divisi´on por cero)
respetan la continuidad.
La idea intuitiva es que la gr´afica de f no est´e “rota” en a. Cuando no se especifica el
punto, al decir que una funci´on es continua se sobreentiende que lo es en todos los puntos de
su dominio.
Las funciones elementales, sen x, cos x, ex ,...