resumen

BASE ORTOGONAL
Decimos que B={u⃗ ,v⃗ } es una base ortogonal si los vectores que la forman son perpendiculares entre si. Es decir, u⃗  y v⃗ forman un ángulo de 90∘.
Ejemplou⃗ =(3,0), v⃗ =(0,−2) forman una base ortogonal ya que el producto escalar entre ellos es cero y ésta es una condición suficiente para ser perpendiculares:
u⃗ ⋅v⃗ =3⋅0+0⋅(−2)=0
Decimos que B={u⃗ ,v⃗ } es una base ortonormal si losvectores que la forman son perpendiculares entre si y tienen módulo 1. Es decir, u⃗  y v⃗  forman un ángulo de 90∘ y |u⃗ |=1, |v⃗ |=1.
Ejemplo
u⃗ =(1,0), v⃗ =(0,−2) forman una base ortonormal yaque los vectores son perpendiculares (su producto escalar es cero) y ambos vectores tienen módulo 1.
Perpendicularidad: u⃗ ⋅v⃗ =1⋅0+0⋅(−1)=0.
Vectoresunitarios: |u⃗ |=12+02−−−−−−√=1√=1, |v⃗ |=02+12−−−−−−√=1√=1.

Núcleo e imagen de una transformación lineal.

En esta sección se desarrollan algunas propiedades  básicas de las transformaciones lineales.
Teorema 1. Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces para todoslos vectores u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

 Nota  en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.
i. T(0) = T(0+ 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)
ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.
iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n= 2 se tiene T(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T(α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T(α1v1 + α2v2+ ….+αkvk+αk+1vk-1 ) = T(α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) + αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa laprueba.

Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que...