Resumen

RESUMEN
Coordenadas Rectangulares

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

z
Px, y, z 

Pr , ,  

P ,  , z 
z


r

y

 



x

Transformaciones de Punto

Transformaciones de Punto

Transformaciones de Vector
 Ax  cos   sen 0  Aρ 
 A    sen cos  0  A 
  
 y 
 Az   0
0
1  Az 
 Bx  sen cos 
B   sen sen
 y 
 Bz   cosTransformaciones de Punto

x   cos 

 x y

y  sen
zz

  tan 1 y / x 
zz

2

2

Transformaciones de Vector
 Aρ   cos sen 0  Ax 
 A    sen cos  0  A 
  
 y 
0
1  Az 
 Az   0

 sen

Gradiente




 
ax 
ay 
az
x
y
z


1 

 
a 
a 
az
 

z

Divergencia



  V  Vx  Vy  Vz
x
y
z

1
V 


Divergencia
Vφ 

  Vρ    z Vz 



a
1 
V 
 
Vρ

az

z
Vz

 V V y 
 Vx Vz 
  z 
 a x   z  x  a y
y
z






V

 y Vx 
 az
 

y 
 x

Gr   sen cos sen cos cos  Gx 
  
 
G    cos cos cos sen  sen  G y 
G    sen
cos
0  Gz 
 

2

Gradiente
1 
1 

a
ar 
a 
 
r
r 
r sen 
Divergencia
V

1 2
1
sen V  1
 V  2
r Vr 
r r
r sen 
r sen 

 

a  a z


 z
Vφ Vz

a

1
V  2
r sen r
Vr

Laplaciano

  
 2  2  2
z
y
x
2



Transformaciones de Vector

 Vz 
 V ρ

V  
 Vφ  a    
  z  a  


z
z


  

1 


1
 
 2
  
V ρ 
r
sen

  Vφ 

 az

 
  


Laplaciano
2



RotacionalRotacional

Rotacional

ay

y
Vy

2
2
2
x  rsen cos  r  x  y  z
y  rsensen   tan 1 x 2  y 2 / z
z  r cos 
  tan 1 y / x 

 sen   Br 
 
cos  Bθ 

0  Bφ 

cos cos
cos sen

Gradiente

ax

V 
x
Vx

r  0 , 0    2 , 0    

  0 , 0    2 ,    z  

  x  ,   y  ,
 z 

2

1     1  2  2




      2  2z 2
2

Contacto: juan.ponce.p@hotmail.com

r a


rVθ

r sen a z


r sen Vφ

 


rVθ  a r 
 r senVφ 

 
 
  V



  r  r senVφ r a  
r



 




V




r
  rVθ 
r sen a  
  r

 

Laplaciano
 
 
1    
1
1
 2
   2  r2
 2
 sen
 2
2
r r  r  r sen  
  r sen   2
2

poncej@javeriana.edu.coPágina 1

Productos triples
1. A  B C  A B  C

Producto escalar:

   
  

A  B  AB cos   Ax Bx  Ay B y  Az Bz

2. A  B  C  A  B  C











3. A  B  C  B  C  A  C  A  B
Producto vectorial:
iˆ

ˆj

kˆ

A  B  AB sen uˆ  Ax

Ay

Az

Bx

By

Bz

Ax
A  B  C  Bx
Cx



4.





Ay
By
Cy



Az
Bz Triple producto escalar
Cz

     Triple producto vectorial
A B C  A  CB  B  C A
A  B C  A  C B  A  B  C

Formulas con el operador nabla ():

 
 ˆ  ˆ
j k
  iˆ 
x
y
z


 
     
    
2.   A  B    A    B
      
3.   A  B    A    B
    
4.   A    A     A
     
5.   A    A     A
      
6.   A  B  B    A  A    B
           
7.   A  B  B   A  B   A  A   B  A   B
             
8.  A  B  B   A  A   B  B    A  A    B
 
9.     0
  
10.     A  0
     2 
11.     A     A   A
2       2
2
2
12.  V      V     V   V x aˆ x   V y aˆ y   V z aˆ z
 
 
2
13.          
1.

 
 
    
  
 
    
       
    
   
 
 
   
 
 

 df

 f  al
df  gradf  dl
dl l
 b
b
Integral del gradiente:  f  dl   df  f a  f b  Independiente de la trayectoria.
a
a
    d
Flujo:    A  da ;  E  dl  
dt
a
 

Teorema de la divergencia: (Teorema de Gauss):    A  da     Ad
Derivada direccional:

a



 
 ...