Resumen

INSTITUTO TECNOLOGICO DE QUERETARO

Materia: MATEMATICAS IV

PROFESORA: MA. DEL CARMEN PERUSQUIA ORTIZ

TEMA: RESUMEN NUMEROS COMPLEJOS

ALUMNAS: ARAUJO ARREOLA NANCY LETICIA
NIEVA ABURTO JESSICA PAOLA
TORRES MURILLO ANA ISABEL

FECHA: 23/02/2009


NUMEROS COMPLEJOS.
En muchas aplicaciones importantes de vectores es aconsejables dejarque los escalares sean números complejos. Un espacio vectorial que permite escalares complejos se denomina espacio vectorial complejo, y uno que solo permite escalares reales se denomina espacio vectorial real.
A principios del siglo XIX se aceptaba que un número complejo:
a+bi, se considerara como otro símbolo para el par ordenado: (a, b), de números reales y que las operaciones de adición,sustracción, multiplicación y división se definirá sobre estos pares ordenados de modo que se cumplirán las leyes de la aritmética.
Definición: Un numero complejo de un par ordenado de números reales denotado por (a, b) o a+bi


EL PLANO COMPLEJO.
El numero real se denomina parte real de Z y el numero real b, parte imaginaria de Z. Estos numros se denotan por Re(z) e Im(z). Por tanto: Re(4,-3i)=4e Im(4-3i)=-3.
Cuando los números complejos se representan geométricamente en un sistema de coordenadas xy, el eje x, el eje y, y el plano se denomina eje real, eje imaginario y plano complejo.
OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS.
Si b=0 entonces el numero complejo a+bi se reduce a a+0i, de modo que los números reales se pueden considerar como números complejos cuya parte imaginaria es cero.Las operaciones de sustracción y multiplicación por un número real también son semejantes a las operaciones vectoriales.
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
K(a+bi)=(ka)+(Kb)I, con K=real.

MODULO; CONJUGADO COMPLEJO; DIVISION
CONJUGADOS COMPLEJOS

es cualquier número complejo, entonces el conjugado de z, queda denotado como

En otras palabras se obtiene invirtiendo el signo de la parteimaginaria de z. Que geométricamentees la reflexión de z con respecto al eje real.

Ejemplos:


MODULO
El modulo de un número complejo denotado por se define como
si Im = 0, entonces z = Re
De modo que el módulo de un número real es simplemente su valor absoluto. Así, el módulo de z también se llama valor absoluto de z.

TEOREMA 10.2.1. Para cualquier número complejo z,Demostración: Si entonces
Z = () () = a2 – abi + bai – b2i2 = a2 + b2 =

DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS
El objetivo es definir la división como la inversa de la multiplicación Así z2 = 0, entonces la definición de z = z1/z2 debe ser tal que z1 = z2z.
El procedimiento consiste en demostrar que lo anterior tiene una solución única para z si z2 ≠ 0, yluego z1/z2 se definirá como este valor de z. Igual que con los números reales, no se permite la división entre cero.

TEOREMA 10.2.2 Si z2 ≠ 0, entonces la ecuación z1 = z2z tiene una solución única, que es:

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

TEOREMA 10.2.3 Para números complejos cualesquiera z, z1 y z2

1. z1 + z2 = z1 + z2
2. z1 - z2 = z1 - z2
3. z1z2= z1 z2
4. z1 / z2 = z1 / z2
5. z1 = z

Forma polar de un número complejo
Una forma para representar los números complejos usando propiedades trigonometricas.
Si z = x+ iy es un numero complejo diferente de cero, r = |z| y θ mide el ángulo entre el eje real positivo y el vector z.

x=rcosθ
y=rsenθ

De modo que z= x + iy puede escribirse como
Z= r (cosθ+i rsenθ)
A esta expresión se le denomina FORMA POLAR
Argumento de un número complejo
El Angulo θ se denomina argumento se z
Θ= arg z
El argumento de z no esta determinado de manera única, se puede sumar, o restar a Θ cualquier múltiplo de 2π para obtener otro valor del argumento. Sin embargo solo existe un valor del argumento en radianes que satisface – π < Θ ≤ π, a esta expresión...