Resumen

Resoluci´n num´rica de ecuaciones o e diferenciales. Historia y algunos problemas actuales
Ricardo G. Dur´n a Departamento de Matem´tica a Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires Argentina UMA, C´rdoba o 19 de Septiembre de 2007 http://mate.dm.uba.ar/∼rduran/

RESUMEN

• Un poco de historia.

• C´lculo variacional. El problema de la braquistocrona. a

•M´todos de elementos finitos y diferencias finitas. e

• Teor´ moderna: estimaciones a priori y a posteriori. ıa

• Algunos problemas y ejemplos.
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Las soluciones llamadas “exactas” (o sea, dadas por expresiones expl´ ıcitas) pueden obtenerse solamente en casos muy particulares. ´ ´ OBJETIVOS DE LOS METODOS NUMERICOS: Encontrar aproximaciones a las soluciones de ecuaciones diferenciales. Estimarel error de aproximaci´n y en especial saber de qu´ deo e pende y c´mo. o

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´ OBSERVACION: EN REALIDAD, EXACTA VS. APROXIMADA ES UNA FALSA ANTINOMIA!! O LO DE EXACTA ES UNA FALACIA!!

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EJEMPLO: y =y , y(0) = 1

´ SOLUCION “EXACTA”:

1 n y(1) = e = lim 1 + n→∞ n

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´ SOLUCION APROXIMADA: ´ METODO DE EULER:

y (x) ∼

y(x + h) − y(x) h

1 Por lo tanto, si xj = jh con h= n , j = 0, · · · , n

yj ∼ y(xj )
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se define por yj+1 = yj + hyj = (1 + h)yj = 1 + Entonces, 1 n y(1) ∼ yn = 1 + n o sea 1 n y(1) = lim 1 + n→∞ n 1 yj n

IGUAL A LA “EXACTA”!!!!

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´ METODOS

1. ELEMENTOS FINITOS

2. DIFERENCIAS FINITAS

3. ESPECTRALES ´ 4. VOLUMENES FINITOS ´ 5. COLOCACION
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Voy a hablar de los dos primeros

1. ELEMENTOS FINITOS: Se basa en laformulaci´n variacional o d´bil de las ecuaciones o e dieferenciales.

2. DIFERENCIAS FINITAS: Se basa en reemplazar derivadas por cocientes incrementales.

Los otros pueden verse como generalizaciones.
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Gottfried Wilhelm von LEIBNIZ (1646-1716) ´ ´ ES BIEN SABIDO QUE DESARROLLO EL CALCULO AL MISMO TIEMPO QUE NEWTON. PERO ES MENOS CONOCIDO LO SIGUIENTE: Extracto del abstract de Trzesicki K.,“LEIBNIZ’S IDEAS IN INFORMATICS”: Filozofia Nauki (Philosophy of Science) vol: 14, number: 3(55), 21-48 , 2006.
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LEIBNIZ MAY BE CONSIDERED AS THE FIRST COMPUTER SCIENTIST. HE MADE MAJOR CONTRIBUTIONS TO ENGINEERING AND INFORMATION SCIENCE. HE INVENTED THE BINARY SYSTEM,FUNDAMENTAL FOR VIRTUALLY ALL MODERN COMPUTER ARCHITECTURES. HE BUILT A DECIMAL BASED MACHINE THAT EXECUTED ALL FOURARITHMETICAL OPERATIONS AND OUTLINED A BINARY COMPUTER.

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´ CALCULO VARIACIONAL EL PROBLEMA DE LA BRAQUISTOCRONA Dados dos puntos A y B a distinta altura el problema consiste en encontrar la curva que minimiza el tiempo de ca´ ıda de una part´ ıcula al desplazarse de A a B bajo la acci´n de la gravedad. o Esta curva se conoce con el nombre de braquistocrona (del griego: braquistos (el m´s corto),cronos (tiempo)) a Este problema fue planteado por Galileo (1564-1642) en 1638, quien di´ una soluci´n err´nea creyendo que estas curvas eran o o o arcos de circunferencia. En 1696 fue resuelto por Johann Bernoulli (1667-1748) quien antes de presentar su soluci´n desafi´ a sus colegas a resolverlo. o o
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Varios de los m´s c´lebres matem´ticos del siglo XVII: a e a Jacob BERNOULLI (1654-1705)NEWTON (1642-1727) LEIBNIZ (1646-1716) L’HOSPITAL (1661-1704) resolvieron el problema de distintas formas. Las ideas y m´todos introducidos dieron comienzo a lo que hoy e conocemos como “Clculo de Variaciones”.
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IDEA DE LEIBNIZ En una carta a Johann Bernoulli, Leibniz muestra que la y buscada debe ser soluci´n de una ecuaci´n diferencial (lo que hoy o o conocemos como ecuaci´n de Eulerasocoada al funcional) o La idea que usa Leibniz para encontrar esta ecuaci´n diferencial o es an´loga a la que hoy se utiliza en el m´todo de Elementos a e Finitos: ´ REEMPLAZAR LA FUNCION BUSCADA POR UNA POLIGONAL
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1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

Leibniz consider´ los casos de uno y de dos nodos internos o y encontr´ la posici´n de estos nodos para que el...