ResumenTeor ATema1

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TEMA 1

Probabilidad
I.

S UCESOS

Denominamos espacio muestral, y lo denotamos por Ω,
al conjunto que consta de todos los resultados posibles de
un experimento. Un suceso A es un subconjunto del espacio
muestral. Se dice que A sucede o que ocurre si al realizar el
experimento se obtiene un elemento de A. Los sucesos que
constan de un u´ nico elemento se llaman sucesos elementales.
Ejemplo: altirar un dado consideramos el espacio muestral
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El suceso obtener impar es I = {1, 3, 5}
y el suceso obtener un n´umero mayor o igual que 4 es M =
{4, 5, 6}. El suceso obtener 2, es decir el subconjunto {2}, es
un suceso elemental.
Se denomina complementario de A, y se denota por A al
suceso formado por los elementos de Ω que no pertenecen a
A. N´otese que A sucede cuandono sucede A

Se verifican las siguientes propiedades:
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A

1. Conmutativas:

2. Asociativas:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

3. Distributivas:

4. A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅
5. A ∪ A = A,

A∩A=A

6. A ∪ A = Ω,

A∩A=∅

7. A ∪ Ω = Ω, A ∩ Ω = A
8. Leyes de Morgan:

Se denomina A ∩ B al suceso formado por loselementos
que est´an en A y en B. N´otese que A ∩ B sucede cuando
sucede A

y

(A ∪ B ∪ C) = A ∩ B ∩ C
(A ∩ B ∪ C) = A ∪ B ∪ C

sucede B

Se denomina A ∪ B al suceso formado por los elementos
que est´an en A o en B. N´otese que A ∪ B sucede cuando
sucede A

o

(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B

II.

P ROBABILIDAD

sucede B

Se denomina A − B al suceso formado por los elementos
de A que no est´an enB. N´otese que A − B sucede cuando
sucede A y no sucede B,

Una probabilidad P es una funci´on que a cada suceso1 A le
asocia un n´umero P (A) entre 0 y 1, de forma que se verifican
los axiomas:
1. P (Ω) = 1

Obs´ervese que
A−B =A∩B
El conjunto que no tiene ning´un elemento se llama conjunto
vac´ıo y se representa mediante ∅. No sucede nunca, por lo
que se denomina suceso imposible. En cambio, elsuceso Ω
formado por todos los posibles resultados sucede siempre, y
se denomina suceso seguro.
Se dice que dos sucesos A y B son incompatibles si no
pueden suceder al mismo tiempo, o equivalentemente cuando
A∩B =∅

2. Si A1 , A2 , A3 , . . . son incompatibles dos a dos entonces
P (A1 ∪A2 ∪A3 ∪. . .) = P (A1 )+P (A2 )+P (A3 )+. . .
De estos axiomas se deduce que una probabilidad P verifica
lassiguientes propiedades:
1. P (A) = 1 − P (A)
2. P (∅) = 0
3. Si B ⊂ A entonces P (B) ≤ P (A)
4. P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B)

Ejemplo: para el ejemplo anterior I = {2, 4, 6} es no obtener
impar, o equivalentemente obtener par, I ∩M = {5} es obtener
un n´umero impar mayor o igual a 4, I ∪ M = {1, 3, 4, 5, 6}
es obtener un n´umero impar o un n´umero mayor o igual a 4
e I − M = {1, 3} es obtener unn´umero impar que no sea
mayor o igual a 4.

1 No es necesario asignar probabilidades a todos los subconjuntos de Ω,
lo cual para espacios muestrales grandes es imposible, sino tan s´olo a los
subconjuntos de una familia no vac´ıa y cerrada para uniones numerables y
complementarios (denominadas σ-´algebras). En este curso b´asico no tratamos
estas cuestiones. Siempre se pueden considerar σ-´algebrasque incluyan todos
los sucesos que interesan en las aplicaciones.

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5. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
6. P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)

elementos pudiendo repetir elementos, es decir seleccionar el
mismo elemento m´as de una vez. Hay
V Rm,n = mn

−P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
Por ejemplo,

+P (A ∩ B ∩ C)

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44
III.

REGLA DE L APLACE

Si Ω tiene un n´umero finito de elementos, y se supone que
todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad,
se verifica la denominada regla de Laplace

P (A) =

casos favorables
n´umero de elementos de A
=
n´umero de elementos de Ω
casos posibles

La regla de Laplace es un m´etodo de definir una probabilidad en un espacio con un n´umero finito de elementos, ya que...