Reticulados

TRABAJO ESTRUCTURAS

1-. Escriba paso a paso los 4 métodos posibles para decidir si un reticulado no es distributivo y exhiba un ejemplo en cada caso.

* Teorema 7: (Criterio gráfico para la distributividad).

Sea A un reticulado para probar si es o no un reticulado distributivo debemos:
* Tomar un subconjunto de A que al menos tenga 5 elementos.

* Probar que el mismo sea unsubreticulado de A, es decir que para cada par de elementos, el supremo y el ínfimo sean iguales a ese mismo par de elementos en A.

* Comparar el subreticulo con los siguientes diagramas, si son iguales podemos concluir que no es distributivo (Basta que 1 solo subreticulo se parezca a uno de ellos).

Nota: Probar con la mayor cantidad de subreticulos posibles.

* Ejemplo:
Sea L unreticulado:

Sea B {a, d, e, g, b}

Es un subreticulado puesto que:

db = g d b = a
eb = g e b = a

Que es igual si evaluamos las operaciones ⋁, ⋀ en L.

Ahora bien podemos observar que el subreticulado B es isomorfo a F2. (Diagrama del criterio gráfico anterior).
Por lo tanto L no es distributivo.

* Teorema 9: Este teorema nos dice: Supongamos que L: [A, ⋁, ⋀] es unreticulado distributivo y acotado. Entonces se cumple que ningún elemento de L puede tener más de un complemento.

Pasos:
* Tomar el reticulado en el que se quiere saber si es distributivo y verificar que sea acotado. Si se cumple que es acotado podemos continuar al siguiente paso.

* Buscar los complementos de cada elemento.

* Examinar los elementos y ver si tienen más de un complemento,si al menos uno de ellos tiene más de un complemento entonces no es distributivo, caso contrario si lo será.

* Ejemplo:

Sea L un reticulado:

El reticulado es acotado pues tiene Cota Superior Universal (I) y Cota Inferior Universal (⊘).
Ahora buscamos los complementos.
: {b, f}
: {d, e}
: {d}
: {b}
Por lo tanto L es un reticulado acotado más no distributivo ya que al menosuno de sus elementos tiene más de un complemento.

* Teorema 12: Sea L un reticulado que tiene longitud finita. Si L es distributivo, entonces cada elemento de L posee una única representación del tipo ⋁-irredundante.

Pasos:
* Verificar que L sea un reticulado de longitud finita.

* Determinar todos los elementos ⋁-irreducibles del retículo.

* Combinar los elementos⋁-irreducibles ≠ ⊘ para determinar ⋁-expresiones ⋁-irreducibles.

* Seleccionar cada una de ellas y determinar sus subexpresiones.

* Compararlas. En caso de que coincidan su supremo con alguna de las subexpresiones entonces la misma no es ⋁-irredundante. Caso contrario lo es.

* Luego evaluamos cada elemento y sus expresiones ⋁-irredundantes si por lo menos uno de ellos tiene más de unaexpresión ⋁-irredundante, entonces no es distributivo.

* Ejemplo:
Sea L un reticulado

Elementos ⋁-irreducibles:
{⊘, d, b, c}

Expresiones ⋁-irreducibles:
I) d⋁b = I
II) d⋁c = e
III) b⋁c = f

Como hay más de una expresión ⋁-irredundante, entonces no es distributivo.

* Definición9: Un reticulado L = [A, ⋁, ⋀] es distributivo sii las igualdades:
X v (Y ^Z) = (X v Y) ^ (X v Z)
X ^ (Y v Z) = (X ^ Y) v (X ^ Z)
Para todos los valores que puedan tomar las variables X, Y, Z sobre el conjunto A.
Pasos para probar que un reticulado no es distributivo:
* Buscar todas las combinaciones de 3 elementos de retículo.

* Se calcula y demuestra para cada combinación la igualdad de la definición sustituyendo los elementos de la combinación enla igualdad. Podemos decir que:


J = x ⋁ (y ⋀ z)
K = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z)
H = x ⋀ (y ⋁ z)
L = (x ⋀ y) ⋁ (x ⋀ z)

* Verificamos que J = K y H = L caso contrario es decir que cualquiera de estas dos igualdad no es cumple, el reticulado no será distributivo.

* Ejemplo:
Sea L un reticulado

Busquemos las posibles combinaciones para ver si L es distributivo:

73= 343...