Reticulos, Conjuntos De Orden Total Y Parcialmente Ordenados, Elementos Maximales, Minimales Y Cotas, Diagrama De Hasse

Retículos o Reticulados

Es un tipo especial de orden, en que cada conjunto finito no vacío tiene supremo e ínfimo. Formalmente, se dice que, un retículo es un conjunto ordenado, (L; ≤) en el quecualquier conjunto finito tiene supremo e ínfimo.

Si (L; ≤) es un retículo y x,y ∈ L, denotaremos por x˅y al supremo del conjunto {x,y} y por x ˄y al ínfimo del conjunto {x,y}.

Observación
Si(L; ≤) es un retículo, las operaciones ˅ y ˄ satisfacen las siguientes propiedades:














Ejemplos:
• Si X es un conjunto totalmente ordenado, entonces X es un retículo.• El conjunto ordenado (N,|) es un retículo. En este caso se tiene que x˅y = mcm(x,y) mientras que x˄y = mcd(x,y).


• Si V es un K-espacio vectorial, el conjunto de los subespacios vectoriales deV es un retículo, con el orden dado por la inclusión. Aquí, dado dos subespacios vectoriales V1 y V2 se tiene que V1˅V2 = V1+V2 mientras que V1˄V2 = V1∩V2.


• El conjunto representado por eldiagrama de Hasse de la figura 5, es un retículo. Se tiene, por ejemplo: c˅d = f, c˄d = a, b˅c = f, b˄c = 0, c˅e = 1, c˄e = 0.















Figura 5. Diagrama de Hasse

Conjuntosde orden total y parcialmente ordenados
Conjunto Total:
El conjunto total de un grafo G = (V, E) es un subconjunto V' de V tal que cada vértice que no pertenezca a V' está unido a (al menos) unmiembro de V'. El número dominante γ (G) es el cardinal del menor conjunto dominante de G.
Conjunto parcialmente ordenado:
Es una relación binaria R sobre un conjunto X que es reflexiva,antisimetrica, y transitiva, es decir, para cualesquiera a, b, y c en X se tiene que:
• aRa (reflexividad).
• Si aRb y bRa, entonces a = b (antisimetría).
• Si aRb y bRc, entonces aRc (transitividad).
Unconjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado o poset. A veces se usa la expresión conjunto ordenado para uno parcialmente ordenado, siempre que quede claro que no se hará...