Retrato De Fase De 3 Sistemas Caoticos

EJERCICIO 8
Sistemas de Control Industrial

Estefanía Gómez García

Actividad 1

Atractor de Rössler
El atractor de Rössler es un atractor del sistema de 3 ecuaciones diferenciales no lineales. Estas ecuaciones definen un sistema dinámico continuo que muestra un comportamiento caótico. La principal intención de este atractor es encontrar un comportamiento parecido al sistema caótico deLorenz pero más fácil de analizar. Como podremos observar en su retrato de fase el sistema empieza inicialmente a describir una orbita elíptica alrededor de un punto fijo, esta orbita se va alejando cada vez mas de este punto fijo hasta que llega un momento en el que se ve influenciada por otro punto fijo, lo que conlleva a una deformación de esta elipse inicial y unas oscilaciones cada vez mascaóticas. La ecuación diferencial obtenida de este sistema es la siguiente:
& x = −( y + z ) & y = x + ay & z = ( x − c) z + b

A continuación mediante MATLAB se representa el retrato de fase correspondiente al circuito:

SCRIP
function [xpunto] = rossler(t,x) xpunto1=2+x(1)*(x(2)-4); xpunto2=-2*x(1)-2*x(3)+(x(1)+x(3)); xpunto3=x(2)+0.45*x(3); xpunto=[xpunto1;xpunto2;xpunto3];

CODIGO clc,clear all, close all
figure, hold on for i=-4:3:4 for j=-4:3:4 for k=-4:3:4 x0=[i,j,k]; [t,x]=ode45(@rossler, [0 5], x0); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)); end end end grid,axis([-20,20,-20,20,-20,20]); xlabel('x_1'),ylabel('x_2'),zlabel('x_3')

RETRATO DE FASE

20

10

0 x3 -10 -20 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 20 10 5 0 -10 -15 -20

-5

x1

15

x2

Atractor de Chua

El circuito dela figura de arriba es el circuito que compone el sistema de Chua. Este es el único sistema caótico fácil de implementar. Gracias a ello es el mas utilizado en aplicaciones practicas como: comunicaciones seguras, censores visuales, música… El circuito consta de 5 elementos; dos condensadores, una resistencia, una bobina y un elemento no lineal (diodo de Chua). En el retrato de fase podremos vercomo hay un punto en el cual el sistema gira en torno a el, para después de pasado un tiempo saltar al segundo punto y girar en su entorno de nuevo para volver a pasar al primer punto. Estas son las ecuaciones obtenidas del circuito:

dv1 G (v2 − v1 ) − id = dt c1 dv2 G (v1 − v2 ) − iL = dt c1 diL v =− 2 dt L
Siendo id la intensidad del elemento no lineal que en este caso es el Diodo de Chua ycuya expresión es la siguiente:
1 id = Gv1 + (a − b)(| v1 + B p | − | v1 − B p |) 2 Su código en MATLAB es el siguiente:

SCRIP
function xpunto = ch(t,x) c1=9; c2=0.5; L=7; G=0.65; a=0.8; b=0.1; xpunto1=c1*(G*(x(2)-x(1))-a*x(1)*((b^2*x(1)*x(1)/3)-1)); xpunto2=c2*(G*(x(1)-x(2))+x(3)); xpunto3=-L*x(2);

xpunto=[xpunto1;xpunto2;xpunto3];

CODIGO clc, clear all, close all
figure, hold on fori=-4:4 for j=-4:4 for k=-4:4 x0=[i,j,k]; [t,x]=ode45(@ch, [0 5], x0); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)); end end end grid,axis([-14,14,-14,14,-14,14]); xlabel('x_1'),ylabel('x_2'),zlabel('x_3')

RETRATO DE FASE

10 5 x3 0 -5 -10 -5 10 0 5 0 5 -5 x1 -10 10 x2 -10

Atractor de duffing
Este sistema se define así: Una varilla de acero tiene un extremo fijado en un soporte rígido mientras el otropuede oscilar entre dos imanes colocados simétricamente. El soporte se halla sometido a una fuerza externa armónica F = f cosωt Como se observa en el Retrato de fase el sistema presenta una trayectoria periódica alrededor de dos puntos de equilibrio. Se podría suponer la presencia de dos fuerzas externas provocan estas trayectorias, dando así como resultado estas oscilaciones . La ecuación diferencialque se obtiene del circuito es la siguiente
&& + γx − x + x 3 = f ⋅ cos ωt x &

El código MATLAB usado para su retrato de fase es, SCRIP
function [xpunto] = duf(t,x) a=0.1; b=1.5; c=2; k=c*t; xpunto1=-a*x(2)+x(2)-(x(2)^3+b*cos(k)); xpunto2=x(1); xpunto=[xpunto1;xpunto2];

CODIGO clc, clear all, close all
figure, hold on for i=-4:1.5:4 for j=-4:1.5:4 x0=[i,j]; [t,x]=ode45(@duf, [0 5],...