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Ecuación lineal [editar]
En una ecuación lineal cada termino está formado por un coeficiente y una incógnita no elevada a ninguna potencia (con potencia 1), y términos que no tienen incógnita. Los términos con incógnita se llaman término en..., esa incógnita; los términos que no tienen incógnita se llaman términos independientes. En la ecuación:

donde el término en x es:

los términos en yson:

el término en z es:

y los términos independientes:

Un término se puede pasar de un miembro a otro cambiándolo de signo. Así, en el ejemplo:

podemos pasar todos los términos con incógnitas al primer miembro y los independientes al segundo:

el orden de los términos dentro de cada miembro no modifica la ecuación, por lo que podemos reordenar los términos del siguiente modo:también se pueden sacar factores comunes si distintos términos los tienen:

y se pueden realizar las operaciones aritméticas que simplifiquen la expresión

La forma normal de representar una ecuación lineal es con todos los términos con incógnitas en el primer miembro y el término independiente en el segundo. Los monomios se simplifican de modo que cada término esté formado por un solocoeficiente y una incógnita; todas las ecuaciones lineales pueden expresarse de esta forma.
Para finalizar esta sección podemos decir que si una ecuación se multiplica por un escalar, la ecuación no varia, así la ecuación:

multiplicada por el número 3, por ejemplo:

haciendo la operación:

dando lugar a una ecuación equivalente a la primera. Del mismo modo si todos los coeficientes de la ecuacióntienen un divisor común, se puede simplificar sin variar la corrección de la ecuación, por ejemplo:

Todos los coeficientes tienen al cinco por divisor:

que simplificamos:

Esta simplificación no modifica el sentido de la ecuación.
Convenio de representación [editar]
De forma general un sistema de ecuaciones suele representarse empleando la letra a, con los correspondientes subíndices paralos coeficientes, la x, con sus subíndices para las incógnitas y la b para los términos independientes, por lo que un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se representaría así

por sencillez y por costumbre, a la primera incógnita se le suele llamar x y a la segunda y; además se procura evitar el empleo de subíndices por lo que, de forma general, el sistema se suele representarasí:

Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano xy, de modo que un sistema de dos ecuaciones permite una representación gráfica como dos rectas en el plano xy, siendo la solución al sistema el punto de intersección de estas dos rectas. Por ejemplo:

si en estas ecuaciones despejamos la y, obtenemos su forma explícita:

estas dos rectas se cortan en el punto:Partiendo de esta representación y de este ejemplo vamos a ver las formas básicas de resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de coeficientes reales.
Tipos de solución [editar]
En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:
* Sistema compatible: si admite soluciones
* Sistema compatible determinado: si admite un número finito de soluciones; en el caso dedos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.
* Sistema compatible indeterminado: el sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones sonequivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.
* Sistema incompatible: el sistema no admite ninguna solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen ningún punto en común porque no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y por lo...