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1.2. Curvas paramétricas.
Definición. Sean x1 , x2 ,

, xn funciones continuas de ℜ → ℜ para un intervalo

[ a, b] definidas como
x1 = f1 ( t ) , x2 = f 2 ( t ) ,

, xn = f n ( t )

con t ∈ [ a, b ] .
, xn ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ,

El conjunto de puntos ( x1 , x2 ,

, f n ( t ) ) define una curva C en

ℜn y estas funciones representan las ecuaciones paramétricas de la curvapara el
parámetro t ∈ [ a, b ] , esto es

 f1 ( t )   x1 

  
n
 f 2 ( t )  =  x2 
f : ℜ → ℜ / f (t ) =

  

  
 f n ( t )   xn 

  

C

f(t)

a

t

b

Figura 9. Curva Paramétrica

Si

la

curva

C

está

definida

en

ℜ3

por

la

función

vectorial

ˆ
ˆ
f : ℜ → ℜ3 / f ( t ) = f1 ( t ) i + f 2 ( t ) ˆ + f3 ( t ) k, donde f1, f2 y f3 son funciones escalares
j
en un intervalo [ a, b ] . Entonces el conjunto de todos los puntos ( x, y, z ) en el espacio
tales que x = f1 ( t ) , y = f 2 ( t ) y z = f 3 ( t ) donde los valores de t pertenecen al
intervalo [ a, b ] , se llama curva paramétrica en el espacio. Para esta curva C, la
función vectorial definida por f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) , f3 ( t ) )es el vector posición del
punto P ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) , f3 ( t ) ) sobre la curva C.

EJEMPLO 5. Represente la curva C en ℜ3 , si ésta esta dada paramétricamente por
f : ℜ → ℜ3 / f ( t ) = ( cos ( t ) , sen ( t ) , t )

Solución. Para la representación en el espacio de esta función evaluamos algunos
valores de t y el vector posición resultante es un punto perteneciente a la gráfica de lacurva C dada de forma paramétrica, al representar los vectores de posición se obtiene
la representación gráfica que se observa en la Figura 10.

C

Figura 10. Representación de la curva paramétrica C del ejemplo 5.

De manera similar una curva C en ℜ2 estará definida por la función vectorial
ˆ
f : ℜ → ℜ2 / f ( t ) = f1 ( t ) i + f 2 ( t ) ˆ , donde las funciones reales f1 y f2, son susj
funciones componentes, para un intervalo [ a, b ] . Entonces el conjunto de todos los
puntos

( x, y )

en el plano tales que x = f1 ( t ) e y = f 2 ( t ) donde los valores de t

pertenecen al intervalo [ a, b ] , se llama curva paramétrica en el plano. Para esta
curva C la función vectorial definida por f ( t ) = ( f1 ( t ) , f 2 ( t ) ) es el vector posición
del punto P ( f1 ( t ) ,f 2 ( t ) ) sobre la curva C.

EJEMPLO 6. Represente la curva C en ℜ2 , definida paramétricamente por

f : ℜ → ℜ2 / f ( t ) = ( t , 2t 2 ) para −2 ≤ t ≤ 2 .
Solución. La representación gráfica de la trayectoria de esta curva C definida por la

representación del vector de posición f ( t ) = ( t , 2t 2 ) , se realiza evaluando al
parámetro t, desde t = −2 hasta t = 2 , en la funciónvectorial que describe la
trayectoria de la curva C, y luego al graficar los puntos resultantes en el plano
cartesiano se obtiene la representación que se observa en la Figura 11.

f(t)

-2

t

2

Figura 11. Trayectoria de la curva f ( t ) = ( t , 2t 2 ) .

EJEMPLO 7. Represente la curva C en

ℜ2 , definida paramétricamente por

g : ℜ → ℜ2 / g (θ ) = ( 2 cos θ ,5senθ ) para 0 ≤ θ ≤ 2π.
Solución. La curva g es la representación en forma paramétrica de una elipse

centrada en el origen y cuya gráfica en el plano cartesiano es la que se muestra en la
Figura 12, el dibujo de dicha curva se obtuvo al realizar la evaluación del parámetro

θ en el intervalo correspondiente.

Figura 12. Trayectoria de la curva f ( t ) = ( 2 cos (θ ) ,5sen (θ ) ) .

EJEMPLO 8. Represente lacurva C en

ℜ2 , definida paramétricamente por

h : ℜ → ℜ2 / h ( t ) = ( 2 − t 2 , t + 1) para 2 ≤ t ≤ 4 .
Solución. La gráfica de la curva C dada paramétricamente por la función h, se

corresponde a una parábola de vértice en el punto ( 2,1) , y se muestra su
representación gráfica en la Figura 13.

Figura 13. Trayectoria de la curva f ( t ) = ( 2 − t 2 , t + 1) .

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