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12/11/2010

EL Pozo de Potencial Infinito (Partícula en una caja)

Introducción a la Mecánica Cuantica
Clase 13 10/NOV/2010
•Se deduce que de la ecuación que satisface satisface la ec.

•en esta región, donde

•En este caso, estamos suponiendo que

.

EL Pozo de Potencial Infinito (Partícula en una caja)

EL Pozo de Potencial Infinito (Partícula en una caja)
•la energía sólopuede tomar ciertos valores discretos, es decir,

•La solución a la ecuación con sujeta a las condiciones de contorno, es

•donde

son constantes arbitrarias (reales) constantes, y

• Las energías de la partícula están cuantizadas

EL Pozo de Potencial Infinito (Partícula en una caja)

Partícula en una caja tridimensional
•Supongamos que la partícula se limita a un volumen rectangular abcen la parte inferior de un pozo de potencial infinitamente profundo

•La energía de la partícula es entonces

•Donde los componentes del momentum

•Los niveles de energía,

•Y la función de onda

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Partícula en una caja tridimensional

Potencial Escalón E V
•Si varias partículas forman un haz incidente en x= 0 y cada una tiene una velocidad

Potencial Escalón E >V

•Las partículas transmitidas tienen velocidad

•El flujo incidente de partículas, i.e. # cruzando por unidad de área por unidad de tiempo, puede verse como el producto de la velocidad y la intensidad •Flujo Incidente •Flujo Reflejado •Flujo Transmitido •El coeficiente de transmisión •El coeficiente de transmisión •El coeficiente de reflexión •El coeficiente de reflexión

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12/11/2010Pozo de Potencial Finito
•El potencial es

Potenciales unidimensionales
• Fuera del pozo, en la región 1 y 3, la ec de Schrödinger

Assume: E < V0

•Pozo Finito •Oscilador Armónico
•Teniendo en cuenta que la función de onda debe ser cero en el infinito, las soluciones para esta ecuación son:

Pozo de Potencial Finito
•Dentro del pozo y, donde el potencial V es cero, la ecuación deonda se convierte en :

Pozo de Potencial Finito
(ii) ψ y dψ/dx deben ser continuas en x=0 and x=L (4 equations). ψ En x = 0

En x = L

•La solución es :

•Las condiciones de borde requieren que :
•Para una altura Vo y ancho L especificados, sólo puede ser satisfecho por valores especiales de E (E está contenida tanto en k y α). •Para cualquier otra energía, la forma de onda no coincidirácon suavidad en los bordes bien, dejando una función de onda que físicamente inadmisible. •La ecuación no puede ser resueltas explícitamente para E; más bien, las soluciones deben ser obtenidas mediante métodos numéricos o gráficos.

•por lo que la función de onda es suave en las regiones se encuentran.

Pozo de Potencial Finito
U(x) Eb U0 E1 Ea x

“Cocemos” las soluciones en las regiones1-2 y 2-3 llevando a la cuantización del espectro si E < V0 :

ψa ψb

ψ1

la función de onda “se filtra” por la barrera de potencial (mientras más cercano E a V0, mayor la cola)

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Pozo de Potencial Finito
•No se viola la conservación de energía •Para observar una partícula en la región clasicamente prohibida significa localizarla en la región dentro de
Profundidad depenetración

Pozo de Potencial Finito

•Las energías permitidas para una partícula en un pozo finito

•Pero δ depende de la energía tambien •Si E > U0, espectro continuo (estados no ligados),

U(x)

E U0

Oscilador armónico simple

•Consideremos la expansión de Taylor de una función potencial

La curvatura de esta parábola debe coincidir con V(x) en la posición de equilibrio x = x0:Oscilador armónico simple
•Para un oscilador armónico clásico la energía mínima E = 0, da valores precisos x= 0 y p = 0 ; NO OSCILA . EL Principio de incertidumbre prohibe esto. •Si a0 es la amplitud de oscilación más pequeña compatible con el principio de incertidumbre, luego,

Oscilador armónico simple
•La energía de un oscilador con amplitud a

•Entonces

•EL valor de la energía...