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´
LECCION

2

Ecuaciones de superficies en el espacio

La introducci´n de un sistema de coordenadas permite representar algebraicamente
o
lugares geom´tricos de puntos mediante ecuaciones e inecuaciones. El procedimiento
e
consiste en encontrar las condiciones algebraicas que deben satisfacer las coordenadas
de un punto para pertenecer al lugar. La representaci´n algebraica de un lugaro
geom´trico de puntos del espacio se puede hacer mediante ecuaciones, inecuaciones
e
o un sistema de ecuaciones e inecuaciones con tres inc´gnitas (las coordenadas de
o
los puntos). M´s precisamente, una ecuaci´n con tres inc´gnitas representa un lugar
a
o
o
geom´trico de puntos del espacio si, y s´lo si, las coordenadas de cada punto del
e
o
lugar satisfacen la ecuaci´n y cadatripla de n´meros reales que satisface la ecuaci´n
o
u
o
son las coordenadas de un punto del lugar.
Por ejemplo, el plano que pasa por un punto Q y tiene vector normal v , es el
lugar geom´trico de todos los puntos P del espacio para los que los vectores QP y
e
v son ortogonales. Si las coordenadas de Q son (x0 , y0 , z0 ), las de P son (x, y, z) y
v = �a, b, c�, la condici´n deortogonalidad, es decir, el que QP · v = 0, se escribe en
o
coordenadas as´
ı:
(2.1)
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
que es la ecuaci´n que representa al plano que contiene a Q(x0 , y0 , z0 ) y tiene vector
o
normal v =�a, b, c�.
17

18

´
LECCION 2. ECUACIONES DE SUPERFICIES EN EL ESPACIO

El lugar geom´trico de todos los puntos P (x, y, z) del espacio cuya distancia a un
e
upunto fijo Q(x0 , y0 , z0 ) es un n´mero real positivo r, es la superficie de una esfera
de radio r y centro Q. Como lo vimos en la lecci´n anterior, la condici´n geom´trica
o
o
e
“la distancia de P a Q es r”, se escribe algebraicamente as´
ı:
�

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r 2
(2.2)
Esta es precisamente la ecuaci´n que representa dicha superficie.
o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z −z0 )2 = r,

o,

Z

•

Y
Γ

X
Figura 2.1
Sea Γ una curva en un plano Π, la uni´n de todas las rectas perpendiculares al
o
plano Π que intersectan a la curva Γ es la superficie cil´
ındrica recta(o cil´
ındro) con
directriz C. En otras palabras, la superficie cil´
ındica recta definida por Γ es el lugar
geom´trico de puntos P del espacio cuya proyecci´n ortogonal sobre el plano Πe
o
est´ en la curva Γ. Por ejemplo, dada la circunferencia Γ en el plano XY con centro
a
en el origen y radio r, la uni´n de todas las rectas perpendiculares al plano XY que
o
intersectan la circunferencia Γ es una superficie cil´
ındrica circular recta. Un punto
P (x, y, z) pertenece a esta superficie si, y solamente si, su proyecci´n ortogonal sobre
o
el plano XY es un punto de lacircunferencia. Esto sucede unicamente cuando las
´
coordenadas x y y del punto P satisfacen la ecuaci´n de la circunferencia Γ. As´ el
o
ı,

19
punto P (x, y, z) est´ en la superficie cil´
a
ındrica recta definida por Γ si y solamente
2 + y 2 = r 2 , que es precisamente la ecuaci´n que representa a la superficie
o
si, x
en cuesti´n. Obs´rvese que esta ecuaci´n no impone ninguna restricci´nsobre la
o
e
o
o
coordenada z del punto P .
La superficie de la esfera y la superficie cil´
ındrica circular recta son superficies
cuadr´ticas (o cu´dricas) ya que las ecuaciones que las representan son cuadr´ticas.
a
a
a
En general, si la ecuaci´n de una superficie tiene forma
o
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0,

(2.3)

donde las letras may´sculasrepresentan n´meros reales fijos con la condici´n de
u
u
o
que A, B, C, D, E, F no sean todos nulos, se dice que la superficie es una superficie
cuadr´tica.
a
Escogiendo convenientemente los ejes de coordenadas, es decir, transladando y rotando los ejes de coordenadas originales, se puede demostrar que cualquier superficie
cuadr´tica admite una de las dos formas de ecuaci´n siguientes:
a
o
ax2 +...