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La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo ó [.][][]
Sean f y g dos funciones definidas en elintervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual alanterior. Por lo tanto,Guillaume de L’Hôpital |
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de lamisma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.[2] [4] Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
* Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<bse puede escribir de la siguiente manera:

* Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

[editar] Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplicapara salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir:sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla

Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la reglapuede aplicarse n veces:

Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformaciones algebraicas:Cocientes incompatibles
Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también sepueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.
Indeterminaciones no cocientes
A veces algunos límites indeterminados que...