Richard

Producto Cartesiano.

Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: 

A x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.


En consecuencia:  


(x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B 


En particular, siendo R elconjunto de los números reales, se tiene: 

R x R = {(x, y) / x ÎR Ù y Î R }.

R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.
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Se establece una relación entre R x R y el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el puntoP(x,y). 





Ejemplo

1:  Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: 

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.


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Relación.

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o máselementos del Recorrido o Rango.


Representación gráfica de las relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Si  A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y  R la relación definida por la regla      

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar  R.

 Solución

Los pares ordenados que pertenecen  a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:

                                        R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

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Función

Una función relacionacada elemento de un conjunto
con exactamente un elemento de otro conjunto
(puede ser el mismo conjunto).

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Dominio y rango


Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función:

| |Lo que puede entrar en una función se llama el dominio |
| |Lo que es posible que salga deuna función se llama el codominio |
| |Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen |


Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por lafunción) son el rango.


Parte de la función


Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio.


De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente.


Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces elconjunto {1,4,9,...}


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Y otra función g(x) = x2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}


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EJERCICIO 1 :
Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3
Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales. Dom f(x) = R
El Rango será todo el conjunto de los númerosreales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.
Rango = (– ∞ , + ∞ )







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Clasificación de las funciones.



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Funciones algebraicas


En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación....