Riesgo moral- apunte auguste

Riesgo Moral
1
1.1

El Modelo 2x2
El Problema

El Agente toma dos acciones e ∈ {eL , eH } (e.g. esfuerzo bajo o alto) Producto de estas acciones es una variable aleatoria que puede tomar dos estados q ∈ {0, 1} (e.g. fracaso, éxito) prob(q = 1|e = eL ) = pL > 0 prob(q pH = 1|e = eH ) = pH > 0 > pL

La utilidad del Agente, cuando hace esfuerzo e y es pagado con w, es: U (w, e) = u(w) −c(e) donde: u0 > 0, u00 < 0, c(eL ) < c(eH ) (podemos normalizar c(eL ) = 0).Supuesto de separabilidad implica que si w depende de la variable aleatoria q, y por ende es una variable aleatoria, la aversión al riesgo no es alterada por e. Si el Agente no es contratado obtiene utilidad U , que por simplicidad la asumimos cero El Principal recibe pago: π(q, w) = π (S(q) − w) donde asumimos S(1) = s1 >S(0) = s0 (i.e. prefiere el exito al fracaso). A menudo asumiremos que el Principal es Neutral al Riesgo, asumiendo que π() es lineal: π(q, w) = S(q) − w

1.2

Solución bajo información completa

Principal observa la acción del agente, por lo que puede fijar la remuneración directamente en función de e. Un contrato sería: w(e) = (wL , wH ) es decir, el Agente recibe un pago que no depende delresultado, sólo de su esfuerzo, por lo que w no es una variable aleatoria. El Principal asegura por completo al Agente. El Agente hará esfuerzo alto si: U (wH , eH ) ≥ U (wL , eL ) 1

y aceptará el contrato si: U (wH , eH ) ≥ 0 La primera es una restricción de compatibilidad de incentivos (RI) y la segunda una restricción de participación (RP). Notar que como el esfuerzo alto le genera un costomayor al Agente, para que la RI se cumpla se debe verificar que: wH > wL . Si no hay restricciones al armado del contrato, el Principal puede poner wL lo suficientemente bajo (o negativo) de manera tal que la RP este siempre operativa: U (wH , eH ) = 0 esto da el pago bajo esfuerzo alto: wH = u−1 (c(eH )) y wL = u−1 (u(wH ) − [c(eH ) − c(eL )]) Si el Principal quiere inducir el esfuerzo bajo,tendría que satisfacer: U (wL , eL ) ≥ U (wH , eH ) U (wL , eL ) ≥ 0 (RP) (RI)

Notar que como c(eH ) > c(eL ) poniendo un salario constante wH = wL = w el Agente siempre hará esfuerzo bajo. La RP será operativa, lo que da: w = u−1 (c(eL )) Esto da los contratos óptimos para cada caso. El Problema del Principal es ofrecer el contrato que más le convenga, y eso dependerá del pago S. Si es óptimo para elPrincipal inducir un esfuerzo alto, ofrece el contrato que es compatible con este incentivo. Alternativamente, podemos pensar que el Principal "ata" el contrato al resultado y no al esfuerzo.

1.3

Solución Bajo Información Incompleta

El contrato ahora no puede estar firmado en base a un esfuerzo que no se observa. El contrato,por ende, se puede basar en los resultados. Un contrato ahoraes: w(q) = (w0 , w1 ) que explicita que cobra el Agente si el resultado es negativo o positivo. Ahora el Agente tiene una "lotería" como ingreso. Las restricciones de Incentivos y Participación si el Principal quiere inducir esfuerzo alto son: pH [u(w1 ) − c(eH )]+(1−pH ) [u(w0 ) − c(eH )] ≥ pL [u(w1 ) − c(eL )]+(1−pL ) [u(w0 ) − c(eL )] 2 (RI)

y para la restricción de participación nos queda:pH [u(w1 ) − c(eH )] + (1 − pH ) [u(w0 ) − c(eH )] ≥ 0 (RP)

Siguiendo con el supuesto de que el Principal quiere inducir esfuerzo alto, su problema es:
(w0 ,w1 )

max Eπ = pH [s1 − w1 ] + (1 − pH ) [s1 − w0 ]

sujeto a: pH [u(w1 ) − c(eH )]+(1−pH ) [u(w0 ) − c(eH )] ≥ pL [u(w1 ) − c(eL )]+(1−pL ) [u(w0 ) − c(eL )] pH [u(w1 ) − c(eH )] + (1 − pH ) [u(w0 ) − c(eH )] ≥ 0 (RP) Llamando λ elmultiplicador de Lagrange para RI, y μ al multiplicador de Lagrange para RP, las dos primeras CPO son: ∂L () = −pH + λ (pH − pL ) u0 (w1 ) + μ pH u0 (w1 ) = 0 ∂w1 ∂L () = −(1 − pH ) − λ (pH − pL ) u0 (w0 ) + μ(1 − pH )u0 (w0 ) = 0 ∂w0 Notar que RP y RI no pueden las dos cumplirse con desigualdad al mismo tiempo (λ y μ no pueden ser sero al mismo tiempo). Notar también que μ = 0 no es posible ya...