Rigidez y flexibilidad

CATEDRA DE ESTRUCTURAS III

FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.

FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ ÍNDICE

1 2 3 4

INTRODUCCIÓN.................................................................................................. 2 FLEXIBILIDADES ................................................................................................. 2 RIGIDECES.......................................................................................................... 5 CÁLCULO DE FLEXIBILIDADES Y RIGIDECES ................................................. 7

1 −www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm

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1 INTRODUCCIÓN

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En este capitulo estudiaremos un conjunto de importantes conceptos que utilizaremos al tratar los métodos para laresolución de estructuras indeterminadas. Las estructuras tienen propiedades relacionadas con su resistencia y deformabilidad, que le son propias y que las caracterizan. Éstas se emplean en el análisis estructural y tienen que ver, básicamente, con la función que relaciona las causas y los efectos. Las estructuras que trataremos aquí tienen un comportamiento lineal. 2 2.1 FLEXIBILIDADES Definiciónde flexibilidad
fig. 1
1 2 3

Supongamos que tenemos una estructura donde hemos establecido tres direcciones como las indicadas en la fig 1, y sobre las mismas actuarán fuerzas de valor unitario. Aplicaremos a la estructura una carga unitaria por vez y observaremos los desplazamientos que se producen como consecuencia del estado de carga (fig. 2).
P1=1 f21

f11

f31

fig. 2
P2=1f12

f22

f32 P3=1

f13

f23

f33

Los desplazamientos originados en cada dirección los denominaremos flexibilidades y que indicaremos fij, donde i indica la dirección donde se produce y j donde actúa la causa unitaria que lo produce. De esta manera la definición de estos desplazamientos sería: La flexibilidad fij es el efecto cinemático en i producido por una causa estática unitaria queactúa en j. Basándonos en la anterior definición de flexibilidades y aplicando el principio de superposición, los desplazamientos totales Ui que se producirán cuando actúan cargas Pi (fig 3) valen: 2 −www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm

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fig. 3

P1 U1

P2

P3 U3

U2

U1 = f11P1 + f12P2 + f13P3 U2 = f21P1 +f22P2 + f23P3 U3 = f31P1 + f32P2 + f33P3
Expresado estas ecuaciones en forma matricial tenemos: U1 f11 U2 = f21 U3 f31 f12 f22 f32 f13 P1 f23 * P2 f33 (A) P3

U = FP

Hemos encontrado una relación entre las fuerzas que actúan en determinadas direcciones y los desplazamientos que ocurren en las mismas direcciones. Esta relación lineal se establece a través de matriz F, que es independiente de lascargas P y sólo depende de la estructura y de las direcciones elegidas. La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y está integrada por las flexibilidades fij cuya definición ya realizáramos anteriormente. Estas flexibilidades tienen las siguientes propiedades: fii: flexibilidad directa: Estos efectos son siempre positivos, dado que son los desplazamientos correspondientes con la causa que losproducen fij: flexibilidad cruzada: Estas tienen la propiedad, de acuerdo a la ley de Maxwell, de ser igual a fji. Por esta razón la matriz F es simétrica. F=F 2.2 Primer Teorema de Castigliano
T

Teniendo en cuenta que la ley de Clapeyron, la energía interna de deformación vale:

Ei =

1 T P U 2

y reemplazando en ésta la ecuación (A), tenemos la expresión de la energía en función de lasflexibilidades. Ei = 1 T P FP 2

Si se realiza el desarrollando esta ecuación matricial tenemos:

1 Ei = P1 P2 2

f11 P3 * f21 f31

f12 f22 f32

f13 P1 f23 * P2 f33 P3

3 −www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras3.htm

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Ei =

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1 (P1f11P1 + P1f12 P2 + P1f13 P3 + P2 f21P1 + P2 f22 P2 + P2 f23P3 + P3 f31P1 + P3 f32P2 + P3...