riquezas de las naciones

Esperanza Matemática
En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria , es el número  que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dichosuceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede serimprobable o incluso imposible.
Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

Y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.
Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas olos juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo númeroes:

Que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".
Nota: El primer paréntesis es la "esperanza" de perder tu apuesta de 1€, por eso esnegativo el valor. El segundo paréntesis es la esperanza matemática de ganar los 35€. La esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder

Definición
Para una variable aleatoria discreta con valores posibles  y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad  la esperanza se calcula como ejemplo:

Para una variable aleatoriaabsolutamente continua, la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad :

La definición general de esperanza se basa, como toda la teoría de la probabilidad, en el marco de la teoría de la medida y se define como la siguiente integral:

La esperanza también se suele simbolizar con 
Las esperanzas  para  se llaman momentos de orden. Más importantes sonlos momentos centrados .
No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribución de Cauchy no lo tiene.


2­-
PROPIEDADES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA
Proposición 4.1: E [a g(X) +b h(X)] = a E [g(X)]+b E [h(X)]; a, b constantes. [4.4]
Demostración:

Nota si X es discreta, la demostración se hace en la misma forma, usando sumatorias en vez de integrales.
Proposición4.2: E [c1 X + c2] = c1 E [X] + c2 [4.5]
Demostración:

.Esperanza matemática o media

Varianza

Desviación típica


Esperanza de una función de una variable aleatoria
Variable discreta

Variable continua

Linealidad de la esperanza matemática
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E (k · X) = k · E(X) para todo número real k.
E (k) = k para todo número real k.
E(a · X + b) = a · E(X)+ b para todo par de números reales a y b.
 
Esperanza del producto
E(X · Y) = E(X) · E (Y) únicamente en el caso de que X e Y sean variables aleatorias independientes.


3

COMPRENDIENDO CÓMO SE CALCULA LA ESPERANZA MATEMÁTICA DE UN DADO:
La «Esperanza Matemática», que se denota como E(X) y se lee como «Esperanza de X», no es otra cosa más que calcular el Promedio o la Media Aritmética de...