RO11

1
Reducción de orden .
E: .1

x/y 00 C xy 0

y D 0I

y1 D x.

D: H Proponemos como una segunda solucióny2 D uy1 , esto es, y2 D ux. Al derivar obtenemos:
y20 D u C xu 0

y200 D 2u 0 C xu 00 :

&

Así, alsustituir en la ED:
x/Œ2u 0 C xu 00  C xŒu C xu 0 

.1

ux D 0:

Podemos simplificar y resulta:
.x 2

2xC 2/u 0

1/xu 00 D 0I

.x

o también:
1/xu 00 D .x 2

.x

2x C 2/u 0:

Si tomamos el cambio de variablew D u 0, entonces u 00 D w 0, de aquí:
.x

0

1/xw D .x

2

dw
.x 2 2x C 2/
2x C 2/w )
D
dx:
w
.x 1/xdw
1/x
D .x 2
dx

2x C 2/w ) .x

Al integrar usando fracciones parciales, hallamos:
dw
D
w

.x 2 2x C2/
dx )
.x 1/x

) ln w D x C ln.x

1/

dw
D
w

Â

1C

2 ln x ) ln w C 2 ln x

Ã
2
dx )
x

1
x

ln.x

1

wx2
1/ D x ) ln
D x:
x 1

Aplicando la función exponencial, encontramos:
w x2
du
.x 1/e x
D ex ) w D
D
:x 1
dx
x2
Al integrar:
uD

.x

1/e x
x2

dx D

 Ã
d ex
ex
dx D :
dx x
x

ex
De esta manera, y2 D u y1D
x D e x . La solución general de la ED es
x
y D c1 x C c2 e x :

21. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010