RO15

1
Reducción de orden .
E: xy 00

.2x C 1/y 0 C .x C 1/y D 0I

y1 D e x .

D: HBuscamos una solución de la forma y2 D uy1 , es decir, y2 D ue x . Si derivamos:
y20 Due x C e x u 0
Al sustituir en xy 00

&

y200 D ue x C 2e x u 0 C e x u 00 :

.2x C1/y 0 C .x C 1/y D 0:

xŒue x C 2e x u 0 C e x u 00

.2x C 1/Œue x C e x u 0 C .x C1/ue x D 0:

Si simplificamos, obtenemos:
e x Œxu 00

u 0 D 0 ) xu 00

u 0 D 0:Hacemos ahora el cambio de variable, w D u 0 , entonces u 00 D w 0, así:
xw0

wD0 )x

dw
dw
dx
Dw )
D
:
dx
w
x

Al integrar:
dw
D
w

dx
) ln w D ln x ) w D x:
x

du
11
D x ) u D x dx D x 2 . Por lo tanto, y2 D u y1 D x 2 e x . La
dx
2
2
solucióngeneral de la ED es
Ã
Â
1 2 x
x
) y D c1 e x C c2 x 2 e x D e x .c1 C c2 x 2 /:
y D c1 y1C c2 y2 D c1 e C c2 x e
2

De esta manera, w D

25. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010