RO3

1
Reducción de orden .
E: y 00 C 4y D 0I

y1 D sen 2x.

D: H Procedemos ahora proponiendo a la otrasolución de la ED como y2 D uy1 :
y2 D u sen 2x ) y20 D 2u cos 2x C u 0 sen 2x )
) y200 D 4u sen 2x C 4u 0cos 2x C u 00 sen 2x:
Al sustituir en y 00 C 4y D 0 hallamos:
4u sen 2x C 4u 0 cos 2x C u 00 sen 2x C 4usen 2x D 0:
Simplificando:
u 00 sen 2x C 4u 0 cos 2x D 0:
Reducimos el orden de la ED mediante el cambio devariable w D u 0. Entonces u 00 D w 0 y
obtenemos:
dw
.sen 2x/
C 4w cos 2x D 0:
dx
Separamos variables:.sen 2x/

dw
D
dx

4w cos 2x )

dw
cos 2x
D 4
dx:
w
sen 2x

Al integrar, hallamos:
dw
D
w

4

cos 2x
dx )ln w D
sen 2x

4
ln.sen 2x/ D ln.sen 2x/ 2 :
2

Aplicando la exponencial en ambos miembros:
wD

1
sen 22x

o bien

du
D csc 2 2x:
dx

De aquí:
du D csc 2 2x dx )
De esta manera,
y2 D uy1 D

du D

csc 2 2x dx) u D

1
cot 2x sen 2x ) y2 D
2

1
cot 2x:
2

1
cos 2x:
2

La solución general de la ED queda:
y D c1 y1C c2 y2 D c1 sen 2x C c2

13. canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010

1
cos 2x
2

) y D c1 sen 2x C c2 cos 2x: