Roblemas Resueltos Modelo Atomico De Bohr
Páginas: 6 (1363 palabras)
Publicado: 30 de octubre de 2012
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PROBLEMAS RESUELTOS MODELO ATOMICO DE BOHR
1) El tiempo de vida en un estado excitado es alrededor de 10–8 seg - a) ¿Cuántas revoluciones efectuará un electrón del átomo de hidrógeno, en el estado n = 4, antes de regresar al estado fundamental?b) Obtenga la longitud de onda de la línea espectral emitida, desde n = 4, si regresa al estado fundamental de un solo salto. ¿A qué serie espectralpertenece esta línea?
a) En este problema se tiene una situación del átomo de hidrógeno en el que se pide cuántas revoluciones dará el electrón en un tiempo determinado en una órbita determinada. El modelo atómico de Bohr expresa en sus postulados que el electrón del átomo de hidrógeno se mueve alrededor del núcleo en órbitas circulares estacionarias en las cuales no gana ni emite energía; elmovimiento se rige por las leyes de la mecánica clásica. Resulta entonces que el electrón describe movimiento circular uniforme, en las órbitas permitidas de acuerdo con la condición de cuantización impuesta por Bohr. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme, junto a la ecuación de cuantización de las órbitas permiten encontrar los radios posibles de las mismas en función del número cuánticon, que toma valores enteros a partir de uno. Esto es: (ver deducción completa de ecuaciones en la bibliografía sugerida) Ecuación del equilibrio entre fuerza centrípeta y fuerza eléctrica
=
.
=
. . .
(1)
Condición de cuantización de las órbitas
2.
=
ℎ
(2)
Combinando las expresiones (1) y (2), haciendo las sustituciones necesarias resulta la expresión para los radiosde las órbitas posibles:
=
(3)
2 Como pide cuántas revoluciones dará el electrón en la órbita n=4 en el tiempo 10-8 s, hay que aplicar las ecuaciones del MCU para una órbita cuyo radio sea el de n=4 y poder obtener el período del movimiento, que dará el tiempo que tarda en dar una revolución, para luego sacar cuántas revoluciones hará en los 10-8 s. El período en un MCU puede obtenerseconociendo la velocidad tangencial y la velocidad angular del movimiento. Esto es:
=
. =
.
(4)
de esta ecuación es posible despejar el período, pero hay que obtener primeramente los valores del radio y de la velocidad tangencial v para n= 4 Combinando nuevamente las expresiones (1) y (2) y haciendo las sustituciones necesarias, se obtiene la expresión de la velocidad tangencial v enfunción del número cuántico n; esto es:
=
(5)
Haciendo los cálculos se obtienen los valores del radio y la velocidad tangencial, de la siguiente forma:
=
Resultando
ℎ
4 (6,626 . 10 = .9,109. 10
) ( . ) . 8,85. 10 . 1. (1,602. 10
[ )
.
]
≅ 8,462 , 10
El valor de la velocidad es:
=
ℎ 2
=
2
4 .6,626 . 10 . . 8,462 . 10 .9,109 . 10
≅ 5,474 . 10/
Despejando el período T de la expresión (4) y reemplazando por los valores se tiene:
=
. =
, , .
.
≅ 9,7 . 10
3
Si en 9,7 . 10
describe una revolución, en 10
6
-8
s describirá
, .
revoluciones, o sea 1,03.10 revoluciones
b) El nivel de n=4 es un nivel excitado, por lo tanto el átomo puede emitir energía si el electrón salta de ese nivel a cualquierotro de menor energía. El salto es desde el nivel 4 al fundamental, es decir al de numero cuántico n=1. La línea espectral emitida tiene energía igual a la diferencia de energía entre los niveles 4 y 1. Usando la llamada fórmula de Bohr que permite calcular la longitud de onda de las líneas emitidas sabiendo los números cuánticos de los niveles entre los cuales se produjo la transición energética,se tendrá: 1 = 1 − 1 = 1.1,097 . 10 ≅ 971,8 Å Recordar que R es la constante de Rydberg del hidrógeno y vale 1,097 . 10 Dado que el salto energético tiene como número cuántico final n=1, la línea emitida pertenece a la serie de Lyman que se encuentra en la región ultravioleta del espectro. 1− 1 16
2) Hallar la longitud de onda de la línea roja de la serie de Balmer, correspondiente al...
PROBLEMAS RESUELTOS MODELO ATOMICO DE BOHR
1) El tiempo de vida en un estado excitado es alrededor de 10–8 seg - a) ¿Cuántas revoluciones efectuará un electrón del átomo de hidrógeno, en el estado n = 4, antes de regresar al estado fundamental?b) Obtenga la longitud de onda de la línea espectral emitida, desde n = 4, si regresa al estado fundamental de un solo salto. ¿A qué serie espectralpertenece esta línea?
a) En este problema se tiene una situación del átomo de hidrógeno en el que se pide cuántas revoluciones dará el electrón en un tiempo determinado en una órbita determinada. El modelo atómico de Bohr expresa en sus postulados que el electrón del átomo de hidrógeno se mueve alrededor del núcleo en órbitas circulares estacionarias en las cuales no gana ni emite energía; elmovimiento se rige por las leyes de la mecánica clásica. Resulta entonces que el electrón describe movimiento circular uniforme, en las órbitas permitidas de acuerdo con la condición de cuantización impuesta por Bohr. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme, junto a la ecuación de cuantización de las órbitas permiten encontrar los radios posibles de las mismas en función del número cuánticon, que toma valores enteros a partir de uno. Esto es: (ver deducción completa de ecuaciones en la bibliografía sugerida) Ecuación del equilibrio entre fuerza centrípeta y fuerza eléctrica
=
.
=
. . .
(1)
Condición de cuantización de las órbitas
2.
=
ℎ
(2)
Combinando las expresiones (1) y (2), haciendo las sustituciones necesarias resulta la expresión para los radiosde las órbitas posibles:
=
(3)
2 Como pide cuántas revoluciones dará el electrón en la órbita n=4 en el tiempo 10-8 s, hay que aplicar las ecuaciones del MCU para una órbita cuyo radio sea el de n=4 y poder obtener el período del movimiento, que dará el tiempo que tarda en dar una revolución, para luego sacar cuántas revoluciones hará en los 10-8 s. El período en un MCU puede obtenerseconociendo la velocidad tangencial y la velocidad angular del movimiento. Esto es:
=
. =
.
(4)
de esta ecuación es posible despejar el período, pero hay que obtener primeramente los valores del radio y de la velocidad tangencial v para n= 4 Combinando nuevamente las expresiones (1) y (2) y haciendo las sustituciones necesarias, se obtiene la expresión de la velocidad tangencial v enfunción del número cuántico n; esto es:
=
(5)
Haciendo los cálculos se obtienen los valores del radio y la velocidad tangencial, de la siguiente forma:
=
Resultando
ℎ
4 (6,626 . 10 = .9,109. 10
) ( . ) . 8,85. 10 . 1. (1,602. 10
[ )
.
]
≅ 8,462 , 10
El valor de la velocidad es:
=
ℎ 2
=
2
4 .6,626 . 10 . . 8,462 . 10 .9,109 . 10
≅ 5,474 . 10/
Despejando el período T de la expresión (4) y reemplazando por los valores se tiene:
=
. =
, , .
.
≅ 9,7 . 10
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Si en 9,7 . 10
describe una revolución, en 10
6
-8
s describirá
, .
revoluciones, o sea 1,03.10 revoluciones
b) El nivel de n=4 es un nivel excitado, por lo tanto el átomo puede emitir energía si el electrón salta de ese nivel a cualquierotro de menor energía. El salto es desde el nivel 4 al fundamental, es decir al de numero cuántico n=1. La línea espectral emitida tiene energía igual a la diferencia de energía entre los niveles 4 y 1. Usando la llamada fórmula de Bohr que permite calcular la longitud de onda de las líneas emitidas sabiendo los números cuánticos de los niveles entre los cuales se produjo la transición energética,se tendrá: 1 = 1 − 1 = 1.1,097 . 10 ≅ 971,8 Å Recordar que R es la constante de Rydberg del hidrógeno y vale 1,097 . 10 Dado que el salto energético tiene como número cuántico final n=1, la línea emitida pertenece a la serie de Lyman que se encuentra en la región ultravioleta del espectro. 1− 1 16
2) Hallar la longitud de onda de la línea roja de la serie de Balmer, correspondiente al...
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