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1

Unidad 1. Operaciones matriciales

Resultado de aprendizaje. Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación
por escalar, entre matrices y transposición.
De…nition 1 Una matriz A de m
reales (o complejos) ordenados en m
2
a11
6 a21
6
A=4
am1

n es un arreglo rectangular de números
…las y n columnas
3
a12
a1n
a22
a2n 7
7
5
aij
am2
amj

aij se denomina entrada oelemento (i; j). Si m = n estonces A es cuadrada
de orden n y a los elementos aii forman la diagonal principal.
Example 2

es una matriz de 3

2

A=4

3

5
3

1
2

7
3

4

4, donde a24 =

Example 3

0
5
4

3
8
25
0

2; a31 = 4.
3
0
i 5
3

2

2i 4
B=4 i 0
5 4i

es una matriz cuadrada de orden 3 donde a13 = 0; a31 = 5.
A las matrices mrespectivamente.

1 y 1

n se les denomina vectores columna y …la

Example 4
C

1.1.1

7
i

F

1.1

=
=

4

5

3
5

Operaciones entre matrices
Suma

Sean A = [aij ] y B = [bij ] matrices de m

n. Se de…ne

C =A+B
donde cij = aij + bij .

1

Example 5 Sean
2

A = 4

2

B
Example 6 la suma resulta

2

5
7
6

1
6

4

3
4 4
=

7
8
2

2
5

21

12
1
4

A + B = 4 23
6

18
5

3
1
0 65
3 0
3
0
3
5
25
1 0
3
4

3
4
85
0

3
4

5
2

Propiedades de la suma

A + B = B + A (conmutatividad)
A + (B + C) = (A + B) + C (asociatividad)
A + O = A (elemento neutro)
A
1.1.2

A = O (inverso aditivo)
Multiplicación escalar

Sea A = [aij ] y r 2 R. Se de…ne el producto escalar
B = rA
donde bij = raij .Example 7 Sean
2

A = 4
B

2

2

5
7
6

1
6

4

3
= 4 4

7
8
2

2
5

el producto escalar resulta
A

2

2
B=4
3

1
3
37
3
22
3

4
17
6
64
15

2

3
1
0 65
3 0
3
0
3
5
25
1 0
3
4

3
4
10
3
11
3

1

3

14 5
3

0

1.1.3

Multiplicación matricial

Sean A = [aij ] de m

matriz de m
Example 8 Sean

p y B = [bij ] de pC = AB
X
n donde cij =
aik bkj .
2

A =
B
el producto matricial resulta

1
6

2

2
5

=

137
10
55
2

2
5)
2
5)

3
( 2)(3) + (5)(4) + ( 4 )(
( 1 )(3) + (7)(4) + (0)(
6

3
4

5
7

3
= 4 4

=

AB

n matrices. Se de…ne

0
3

7
85
2
( 2)(7) + (5)( 8) + ( 3 )(2)
4
( 1 )(7) + (7)( 8) + (0)(2)
6

105
2
343
6

por otra parte
2

3
BA= 4 4
2

= 4

2
5
43
6
20
3
7
15

3
7
85
2

64
36
12

2
1
6
9
4

3
5 4
7 0
3

3 5
3
10

Remark 9 El producto matricial, en general, no es conmutativo.
Propiedades de la multiplicación matricial
A(BC) = (AB)C (asociatividad)
A(B + C) = AB + AC (distributiva)
(A + B)C = AC + BC
In A = AIm = A (elemento neutro)
donde a la matriz cuadrada I se le denominamatriz identidad
2
3
1
0
0
6 0
1
07
7
I=6
4
5
1
0
0
1
3

Cuando la multiplicación matricial se de…ne entre vectores, la operación se
denomina producto escalar o producto punto. La potencia de una matriz
se de…ne
Ap = AA A
p factores

de…nimos también
A0 = I
Example 10 Sean
a =
b
entonces

1.1.4

9
2

3

2
3

5

3
= 4 45
1

143
2
a b = (9)(3) + (5)( 4) + ( )(1) =
3
3

Transposición

Sean A = [aij ] de m n. La matriz AT = [aji ] de n m se denomina transpuesta
de A
Example 11 Sean
2

A =
B
la transposición resulta
AT
BT

1
6

2

3
= 4 4

2
= 45

=

1
6

3
4

3
7

Propiedades de la transposición
(AT )T = A
(A + B)T = AT + B T
(AB)T = B T AT
(rA)T = rAT
4

0
3

7
85
2

2
5

2

3
4

57

4
8

3

7 5
0

2
5

2

Example 12 Sean
A =
B

2

3
1

4
= 47
1

5
2

3
3
55
2

se veri…ca la propiedad (AB)T = B T AT
2
3T
4 3
T
3 5 4
51
15
47
55
=
1
2 3
26 19
1
2

5

4
3

2

Unidad 2. Matriz inversa

Resultado de aprendizaje. Calcular la inversa de una matriz por los métodos de
la matriz adjunta y eliminación gaussiana....