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Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama delas matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como elde las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergen, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación

 
 
1.- La notación Sigma

GEORG FRIEDRICH BERNHARDRIEMANN (1826-1866). Gran matemático alemán. Realizó numerosas contribuciones a varias ramas de las matemáticas, siendo las más conocidas en Geometría no Euclídea, ecuaciones diferenciales y teoría de números. Sus hallazgos fueron fundamentales para el desarrollo posterior de la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein.Cuando hemos hablado del Cálculo como rama de las matemáticas, hemos mencionadovarios de los problemas que dieron lugar a su origen y desarrollo. Uno de ellos es el problema del área de una región plana. A lo largo de estas páginas pretendo introducir el concepto de integral definida como instrumento fundamental para el cálculo de dicha área. Comenzaremos con el concepto de sumatorio y la notación sigma Σ (debe su nombre a la letra griega con la que se representa) para expresarestos sumatorios.Por ejemplo si queremos expresar la suma de los primeros diez números naturales podemos hacerlo así en notación sigma:La letra i recibe el nombre de índice de suma, los números 1 y 10 son los límites inferior y superior de la suma y tienen que cumplir que:límite inferior <= límite superiorPodemos definir la suma de n términos a1,a2,a3,....,an utilizando la notación sigma de laforma siguiente: |

6.- Sumas de Riemann

Hasta ahora hemos dividido el intervalo [a,b] en subintervalos de la misma longitud,
pero en realidad ésto no es necesario. Riemann generalizó todo el estudio
que hemos hecho hasta ahora para subintervalos de distinto tamaño. Además,
nosotros nos hemos referido hasta ahora a funciones continuas y no negativas
(puesto que estábamos hablando de áreabajo una curva)
En este aspecto también Riemann generalizó sus conclusiones y la única
condición que puso es que la función f(x) estuviese definida en [a,b].
Como veremos después, el hecho de que una función sea continua en un intervalo,
es condición suficiente para que sea integrable en dicho intervalo.
 
Antes de Riemann ya se utilizaban las integrales definidas,
pero este gran matemáticogeneralizó su definición y lo amplió
a un mayor nº de funciones.
Definición de Suma de RiemannSea f(x) una función definida en un intervalo cerrado [a,b].Sea ∆ una partición de dicho intervalo definida de la forma:a=x0<x1<x2<x3<.....<xn-1<xn=bSea ∆xi la anchura del i-ésimo intervalo.Si ci es un punto cualquiera de este i-ésimo intervalo, la suma:Es una suma deRiemannDondexi-1 < ci < xiSe llama norma de la partición ∆ a la longitud del subintervalomás grande que contiene. Se representa por ||∆||.Si todos los subintervalos de una partición tienen la misma longitud(como los que hemos empleado en los ejemplos precedentes)se dice que la partición es regular y su norma se denota como:||∆||= ∆x=(b-a)/n |

7.- Definición de integral definida

Como has visto,...