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III) INTERPOLACIÓN
INTRODUCCIÓN
En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de unfenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.
La extrapolación consiste enhallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.
1. Planteamiento generalEl problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
y se pidehallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.
El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la derecha de xn o a la izquierda de xo.
Se desea, portanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y que nos sirva para estimar los valores deseados.
El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios“interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a uno de los extremos.
2. Interpolación. Elección de la interpolación más adecuada.
Consideremos una función de la cual soloconocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)       [1]
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios,por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en principio de grado n:            y=...