robotica

Coordenadas homogéneas
•
•

Una matriz de rotación 3 x 3 no nos da ninguna posibilidad para la
traslación y el escalado.
Introducimos una cuarta coordenada
– p(x,y,z) p(wx,wy,wz,w) , donde w tiene un valor arbitrario y representa
un factor de escala.

•

Vector en coordenadas homogéneas:

 x  aw a 
 y  bw b 
p= = = 
 z   cw   c 
     
 w  w  1 
•
•

Ejemplo: 2i+3j+4k [2,3,4,1]T = [4,6,8,2] T = [-6,-9,-12,-3] T.
En general, la representación mediante coordenadas homogéneas
de la localización de sólidos en un espacio n-dimensional se realiza
a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional.
94

Matriz de transformación
homogénea (I)
•

Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadashomogéneas de un sistema de coordenadas a otro.

R 3×3
T=
 f1×3
•

p 3×1   Rotación Traslación 
=
w1×1  Perspectiva Escalado 


En robótica la submatriz f1x3, que representa una transformación de
perspectiva, es nula; y la submatriz w1x1, que representa un escalado
global, es la unidad:

R 3×3
T=
 0

p 3×1  Rotación Traslación 
=

1  
0
1


querepresenta la orientación y posición de un sistema OUVW rotado y
trasladado con respecto al sistema de referencia OXYZ.
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Matriz de transformación
homogénea (II)
• Aplicaciones
– Representar la posición y orientación de un sistema girado y
trasladado OUVW, con respecto a un sistema fijo de
referencia OXYZ, que es lo mismo que representar una
rotación y una traslación realizada sobre unsistema de
referencia.
– Transformar
un
vector
expresado en coordenadas
con respecto a un sistema
OUVW, a su expresión en
coordenadas del sistema de
referencia OXYZ.
– Rotar y trasladar un vector
con respecto a un sistema de
referencia fijo OXYZ.
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Matriz de transformación
homogénea: Traslación (I)
• Traslación
– Para un sistema OUVW trasladado únicamente un vector
p = pxi + pyj +pzk con respecto al sistema fijo OXYZ. La
matriz homogénea será la matriz básica de traslación:

– Un vector cualquiera r, representado en OUVW por ruvw ,
tendrá como coordenadas en el sistema OXYZ:

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Matriz de transformación
homogénea: Traslación (II)
• Ejemplo 1.
– Tenemos un sistema O´UVW que está trasladado un vector
p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. Calcular lascoordenadas (rx, ry ,rz) del vector r cuyas coordenadas con
respecto al sistema O´UVW son ruvw(-2,7,3).

 rx  1
 r  0
 y = 
 rz  0
  
 1  0

6   − 2  4 
1 0 − 3  7   4 
  =  
0 1 8   3  11
   
0 0 1  1   1 
0 0

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Matriz de transformación
homogénea: Traslación (III)
• Ejemplo 2.
– Calcular el vector r’xyz resultante de trasladaral vector
rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8).

′
 rx  1
 r ′  0
 y = 
 rz′  0
  
 1  0

6   4  10
1 0 − 3  4   1 
  =  
0 1 8  11 19
   
0 0 1  1   1 
0 0

99

Matriz de transformación
homogénea: Rotación (I)
•
•

Supongamos que el sistema O’UVW sólo se encuentra rotado con
respecto al sistema OXYZ. Lassubmatríz de rotación R3x3 será la
que defina la rotación.
Se pueden definir tres matrices homogéneas básicas de rotación
según el eje sobre el que se realice dicha rotación.

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Matriz de transformación
homogénea: Rotación (II)
• Ejemplo 1.
– Tenemos un sistema OUVW que se encuentra girado -90º
alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las
coordenadas del vectorrxyz si ruvw=[-2,7,3]T.

 rx   0
r  − 1
 y = 
 rz   0
  
1  0

1 0 0  4   8 
0 0 0  8   − 4
  =  
0 1 0 12  12 
   
0 0 1  1   1 

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Combinación de rotaciones y
traslaciones (I)
• Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas
multiplicando las matrices correspondientes.
• El producto NO es conmutativo:
– Rotar y...