Rolle Lagrange Y Cauchy

Facultad de Ciencias

MATEMATICA II
´
PRACTICA
3
´
1.- CALCULO
DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE.
(1.1) Hallar la derivada de las siguientes funciones:
1) f (x) = x2 − 1.

Resp. f (x) = 2x.

2

2) y = 1 − x .

Resp.

3) f (x) = 5x2 − 1.
6

= −2x.

Resp. f (x) = 10x.

2

Resp. f (x) = 6x5 − 10x.

4) f (x) = x − 5x − 1.
7

dy
dx

5

5

3

5) f (x) = 6x 2 + 4x 2 + 2x.

Resp. f (x) = 21x 2 + 10x 2 + 2.

6)y = x2 + x3 .

Resp.

7) f (x) =

x
m

8) f (x) =

1
.
2x+1

m
x

+

+

x2
n2

+

n2
.
x2

Resp. f (x) =

14) f (s) =

2

Resp. f (x) = 35 ax 3 − 32 bx

−5
2

+ 16 x

2
Resp. f (x) = − (1+x)
2.

Resp. f (t) =
Resp. f (s) =

t2 (3+t2 )
.
(1+t2 )2
1
√
.
(1−s) 1−s2

Resp. f (x) = cos(x) − sen(x).

2

16) f (x) = sen (x).

Resp. f (x) = sen(2x).

sen(x)
.
1+cos(x)

Resp. f (x) =

18) f (t) = t sen(t)+ cos(t).

1
.
1+cos(x)

Resp. f (t) = t cos(t).
a sen(2x)
Resp. f (x) = − √
.

cos(2x).

1
2

3

Resp. f (x) = 2(9x + x − 1).

1−x
.
1+x
t3
.
1+t2
1+s
.
1−s

19) f (x) = a

cos(2x)

20) f (x) = tan (x).

Resp. f (x) = tan(x). sec2 (x).

21) f (x) = cos(arcsen(x)).
√
22) f (x) = ln( x).

x
Resp. f (x) = − √1−x
2.
Resp. f (x) = √ 1 √ .

23) f (x) = tan(ln(x)).

Resp. f (x) =

1
3

2n2
.
x3

2

15)f (x) = cos(x) + sen(x).
17) f (x) =

−

Resp. f (x) = 12 (1 + (1 + x)3 ) .(1 + x)2 .

11) f (x) = x(2x − 1)(3x + 2).
13) f (t) =

3
.
x2
1
− xm2 + n2x2
m
−2
.
(2x+1)2

= 2x −

Resp. f (x) =

4
9) f (x) = (1 + (1 + x)3 ) .
√
3x
2
b
√
√ .
√
10) f (x) = ax
3x + x x −
x

12) f (x) =

dy
dx

2

3

dr
dθ

24) r = tan (θ) − tan(θ) + θ.

Resp.

25) f (x) = loga (x2 + 1).

Resp. f (x) =

26) f (x) = log3(x2 − sen(x)).

Resp. f (x) =

1

4x ln( x)
sec2 (ln(x))
.
x
4

= tan (θ).

2x
.
(x2 +1) ln(a)
2x−cos(x)
.
(x2 −sen(x)) ln(3)

−7
6

.

√
2
√x +1−x .
x2 −1+x
(4x+5)
(x2 +2x)

1
Resp. f (x) = − √1+x
2 −

27) f (x) = ln
28) f (x) = e

+7

2 +2x)

Resp. f (x) = 4e(4x+5) + 2(x + 1)7(x

.

ex

29) f (x) = xx + (ex ) .

Resp. f (x) = xx (ln(x) + 1) + (ex )

30) f (x) = xsen(x) .
31) f (x) =

√1
3Resp. f (x) = xsen(x)

arctan

32) f (x) = arcsen(

√ 1
.
x2 −1

√
x 3
1−x2

.

Resp. f (x) =

x2 +1

2

ln(7).

.(x + 1).

+ ln(x). cos(x) .

.

x4 +x2 +1
cos(x)

Resp. f (x) = √

sen(x)).

sen(x)
x

(ex +1)

sen(x)−sen2 (x)

.

(1.2) Verificar si las siguientes funciones cumplen con las hip´otesis del teorema de Rolle.
En caso de cumplirlas obtener los valores c que satisfagan la conclusi´on delteorema.
1) f (x) = x − x3

2

en [−1, 0].

2) f (x) = x − x 3

3) f (x) = |x| − 1 en [−1, 1].
3

4) f (x) = sen(x) en [0, 2π].

2

5) f (x) = x + 5x − 6x en [0, 1].

6) f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) en [1, 3].

[ −π
, π ].
4 4

2
7) f (x) = cos
 (x) en
x + 3 si x ≤ 2
9) f (x) =
7 − x si x > 2

en [−1, 1].

2
8) f (x) = 3x
 − 12x + 11 en [0, 4].
 x2 −5x+4 si x = 1
x−1
10) f (x) =
0
si x = 1en [−3, 7].

en [1, 4].

2

(1.3) Sea f (x) = 5 + 3(x − 1) 3 .
(a) Calcule f (0) y f (2).
(b) Calcule f (x).
(c) ¿Hay alg´
un valor x en (0, 2) tal que f (x) = 0?.
(d) ¿Cu´al es la hip´otesis del teorema de Rolle que falla ?.
(1.4) Escribir la f´ormula de Lagrange para la funci´on f (x) = sen(x) en el intervalo [a, b]
con a < b.
(1.5) Verificar si las siguientes funciones cumplen con las hip´otesisdel teorema de
Lagrange. En caso de cumplirlas obtener los valores c que satisfagan la conclusi´on del
teorema.
1) f (x) = x3 + 1 en [−2, 4].

2) f (x) = 2x − x2

4
x

3) f (x) = x +
en [1, 4].
√
5) f (x) = 3x − 2 en [ 23 , 1].
7) f (x) =

1
(x−1)2

9) f (x) =

2
x−3

4) f (x) = x

2
3

en [0, 1].

en [−8, 8].

3

6) f (x) = x − 2x2 + x + 3 en [−1, 1].
1

en [0, 2].

8) f (x) = 1 − 3x 3 en [−8,−1].

2x + 3 si x < 3
10) f (x) =
15 − 2x si x ≥ 3

en [3.1, 3.2].

2

en [−1, 5].

(1.6) Aplicando el teorema de Lagrange, demostrar las siguientes desigualdades. Haga un
dibujo para visualizar lo que est´a demostrando.
(a) ep (q − p) < eq − ep < eq (q − p) si p < q.
(b) | sen(x)| ≤ x si x ≥ 0.
(c) arctan(x2 ) − arctan(x1 ) ≤ x2 − x1
(d)

x
1+x

si x1 < x2 .

≤ ln(1 + x) ≤ x si x ≥ 0.

(e)...