Romeo Y Juulieta

N úmeros complejos o imaginarios
U n id ad imag in aria
S e l l a m a a sí a l n ú m e r o

y se designa por la letra i.

N ú mero s imag in ario s
U n n ú m e r o i m a g ina r i o s e d e n o t a p o r b i , d o n d e :
b e s u n n úm e r o r e al
i e s l a u n i d a d i m a gi n a r i a

C o n l o s n ú m e r o s im a g i n a r i o s p o d em o s c a l c u l a r r a í c e s c o n ín d i c e p a r
y radicando negativo.
x2 + 9 = 0

P otencias de la unidad imaginaria
i0

=1

i1

=

i2

= −1

i3

= −i

i4

=1

i

L o s va l o r e s s e r e p i t e n d e c u a t r o e n c u a t r o , p o r e s o , p a r a s a b e r
c u á n t o v a l e u n a d e t e rm i n a d a p o t e n c i a d e i , s e d i vi d e e l e x p o n e n t e e n t r e 4 ,
y e l r e s to e s e l e xp o n e n t e d e l a p o t e n c i a e q u i v a l e n t e a l a d a d a .

i22

i22

= (i4)5 ·

i27

i2

= −i

=−1

N úmeros complejos en forma binómica
A l n úm e r o a + b i l e l l a m am o s n ú m e r o c o m pl e jo e n f o r m a b i nó m i c a .

E l n úm e r o a s e l l a m a p a r t e r e a l d e l n ú m e r o c o m p l e jo .
E l n úm e r o b s e l l a ma p a r t e i m a g i n a ri a d e l n ú m e r o c o mp l e jo .

S i b = 0 e l n ú m e r o c o m p l e jo s e r e d u c e a u n n ú m e r o r e a l y a q u e a +
0i = a.

S i a = 0 e l n ú m e r o c o m p l e jo s e r ed u c e a b i , y s e d i c e q u e e s u n
n ú m e r o i m a gi n a r io pu r o .

E l c o n j u n t o d e t o d o s n ú m e r o s c o m pl ejo s s e d e s i g n a p o r.

L o s n ú m e r o s c o m p l e jo s a + b i y − a − b i s e l l am a n o p ue s t o s .
L o s n ú m e r o s c o m p l e jo s z = a + b i y z = a − b i s e l l am an c o n ju g a do s .
Dos

números

c om p l e jo s

son

i g ua l e s

cuando

tienen

la

misma

c o m p o n e nt e r e a l y l a m i s m a c o m p one n t e i m a g i n a r i a .

R epresentacióngráfica de números complejos
L o s n ú m e r o s c o m p l e jo s s e r e p r e s e n t a n e n u n o s e j e s c a r t e s i a n o s . E l
e je X s e l l a m a e je r e a l y e l Y , e je i m a g i n a r i o . E l nú m e r o c o m p l e jo a + b i
se representa:

1 P o r e l p u n t o ( a , b ) , q u e s e l l am a s u a f i jo ,
z

2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Losafijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los
i m a g i n a r i o s s o b r e e l e j e im a g i n a r i o , Y .

O peraciones de números complejos en
la forma binómica
S uma y diferencia de números complejos
L a s um a y d i f e r e n c i a d e n ú m e r o s com p l e j o s s e r e a l i z a s u m a n d o y
r e s t a n d o p a r t e s r e a l e s e n t r e s í y p ar t e s i m a g i n a r i a s e nt r e s í .
( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

M ultiplicación de números complejos
El

producto

de

los

números

c om p l e j o s

se

realiza

aplicando

la

p r o p i e d a d d i s t r i b ut i va d e l p ro d u c t o r e s p e c t o d e l a s u m a y t e n i e n d o e n
cuenta que i2 = −1.
( a + b i ) · ( c + d i ) = ( a c − bd ) + ( a d + b c ) i
( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =
=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

D ivisión de números complejos
El

cociente

de

n úm e r o s

c om p l e j o s

se

hace

r a c i o n a l i z a nd o

el

d e n o m in a d o r ; e s toe s , m u l t i p l i c a n d o n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r p o r e l
conjugado de éste.

N úmeros complejos en forma polar
M ódulo de un número complejo
El

m ó du l o

de

un

número

c o m ple jo

es

el

m ó d u lo

del

ve c t o r

d e t e r m i n a d o p o r el o r ig e n d e c o o rd e n a d a s y s u a f i jo . S e d e s i g n a p o r | z | ....