Root Locus

MÉTODO ROOT LOCUS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Química y Textil Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426 Profesor: Celso Montalvo

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Polos, Ceros y Ganancia Estática
 







Cualquier Función de Transferencia puede expresarse como una división de polinomios. Los polinomios pueden expresarse como el producto de factores que incluyen lasraíces de los polinomios. Se denomina polos a las raíces del denominador. Se denomina zeros a las raices del numerador. El coeficiente K se denomina Ganancia Estática.

b0 s m  b1s m1  ...  bm1s  bm G(s)  a0 s n  a1s n 1  ...  an 1s  an
K  ( s  z1 )  ( s  z2 )  (...)  ( s  zm ) ( s  p1 )  ( s  p2 )  (...)  ( s  pn )

G( s) 

CELSO MONTALVO

2

El Lugar delas Raíces
U





Un Sistema de Control en Lazo Cerrado con Retroalimentación típico se muestra aquí: La Función de Transferencia ante perturbaciones del proceso se describe como: Según el Análisis de Estabilidad estudiado en el Método de Routh, el sistema mostrado sería inestable si alguna de sus raíces es positiva. Podemos evaluar la estabilidad del sistema para cada valor de Kc sigraficamos su ecuación:

+

Kc R
-

1 3s  1
5

1 2s  1

C

1 C ( s) 2s  1  U ( s)  1   1  1  Kc    5  3s  1   2s  1 
1
1

Operando, la Ecuación Característica es:


Kc  5  3s  1   2s  1
Kc  5 0 3s  1   2 s  1 

6s 2  5s  (1  5Kc)  0
5  52  4  6  (1  5 Kc) r1,2  26



Recordar que para un proceso de 2do Orden
1  2 r1,2    j para   1  
3

CELSO MONTALVO

El Lugar de las Raíces


   

Para Kc = 0, r1 = -0.5. Para 1/120 > Kc > 0, -0.5 < r1 < -5/12 En estos casos r1 es real. Para Kc > 1/120, r1 es complejo, pero la parte real es constante y la parte imaginaria crece hacia arriba.  La raiz r2 es simétrica pero sus valores también se encuentran al lado izquierdo del eje imaginario.  Enningún caso las raices pueden tomar valores positivos, por lo tanto este sistema es estable para cualquier valor de Kc.


Imaginary Axis



La figura muestra la gráfica de las raíces r1 (azul) y r2 (verde). Para la raiz r1:

1

Root Locus

 x, y  
9  5   12 ,  12   

Kc 

2 3

1  2  r1,2    j  

0.5

0



-0.5

-1 -1

-0.5

0 Real Axis

0.51

5  52  4  6  (1  5 Kc) r1,2  26 5 1 r1,2    1  120 Kc 12 12
cos() 
2

      1        
2

   

2



La gráfica de las raices de la ecuación característica en el plano imaginario es el lugar de las raíces ó Root Locus.
4

CELSO MONTALVO

El Lugar de las Raíces
U



Si el Transmisor tiene retraso de 1er Orden el nuevo Diagramaes: La Función de Transferencia ante perturbaciones del proceso es: La Ecuación Característica es:

+

Kc R
-

1 3s  1 5 0.1s  1

1 2s  1

C



1 C (s) 2s  1  U ( s)  1   1   5  1  Kc        3s  1   2s  1   0.1s  1 
1
1



La obtención de las raíces para polinomios de 3r orden ó mayor no es fácil algebraicamente y debe procederse a métodosnuméricos, y al uso de computadoras ó poderosas calculadoras.

Kc  5  3s  1   2s  1   0.1s  1
Kc  5 0 3s  1   2s  1   0.1s  1 

0.6s 3  6.5s 2  5.1s  (1  5Kc)  0

CELSO MONTALVO

5

El Lugar de las Raíces

Imaginary Axis



La figura muestra la gráfica de las raíces r1 (azul), r2 (verde) y r3 (rojo). Usando métodos numéricos se halla:
 Existen tresraíces y tres ramas. Dos raices son complejas conjugadas y sus gráficas son simétricas al eje real.  La raiz r1 empieza en r1 = -10 para Kc = 0 y crece sobre el eje real negativo hacia  al crecer Kc.  La raiz r2 inicia en r2 = -1/2 para Kc = 0, luego crece por el eje real hasta r2 = -5/12 y de allí sigue como raíz compleja hasta el infinito.  Para Kc  10.85 la parte real de la raiz r2 se...