Rotacion de ejes

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

Rotación de ejes
Introducción:
Al escuchar este término, se ha llegadoa dar por entendido que la
cónica en estudio ha girado junto con sus ejes para colocarse en una nueva
posición y esto no es cierto.
Al hablar de rotación, se menciona un elemento base como lo es elángulo de giro y de ahí la idea de que existe tal “movimiento”. En realidad sí
hay un ángulo que recibe dicho nombre y es el que se forma por el eje “X” con
uno de los ejes del sistema dereferencia alterno que se requiere determinar
para lograr la identificación de la curva, es muy importante que se entienda
este concepto para que de ninguna manera se llegue a la falsa conclusión de
queuna cónica gira.

Definición
Cuando en la ecuación general de segundo grado

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
el coeficiente “B” es diferente de cero, el término mixto (o cruzado) indica quelos ejes de la cónica tienen un ángulo respecto al sistema original que es el
que se tendrá que obtener para iniciar el estudio.
Para determinar el “ángulo de giro” se recurre a la expresión:

tan2θ =

B
A−C

Corresponde a la trigonometría la demostración de dicha expresión. Si los ejes
a utilizar se denominan “ X’ ” y

“ Y’ ” (equis prima y ye prima) el ángulo θ

es entonces el queaparece en el siguiente diagrama:

Abril de 2011

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y´

yx´

x

Los nombres pueden variar y los nuevos ejes podrían denominarse también
“u” y “v” para evitar confusiones.
Para obtener una nueva ecuación en términos de los nuevos ejes se
requieresustituir en la ecuación de segundo grado a “X” y a “Y” por sus
expresiones equivalentes en función de X’ y de Y’. Las ecuaciones que
permiten esta sustitución son las siguientes:

x = x´cos θ − y...