Rotacion Enfocada En La Segunda y Tercera Ley De Maxwell

Rotación enfocada a la segunda y tercera ecuación de maxwell.
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendolos conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.

Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:
Nombre | Forma diferencial | Forma integral |
Ley de Gauss: | | |
Ley de Gauss para elcampo magnético: | | |
Ley de Faraday: | | |
Ley de Ampère generalizada: | | |


Potencial escalar y potencial vector.
Como consecuencia matemática de las ecuaciones de Maxwell y además con el objetivo de simplificar sus cálculos se han introducido los conceptos de potencial vector () y potencial escalar (). Este potencial vector no es único y no tiene significado físico claro perose sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución paralela a la corriente.[] Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magnético, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, así:[]

A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse unpotencial escalar así:[]

donde el signo menos ( -- ) es por convención. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetría gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.[] El campo eléctrico en función de los potenciales:

Hallamos que con la introducción de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campomagnético y la ley de Faraday quedan satisfechas por definición. Así la ley de Gauss para el campo eléctrico escrita en términos de los potenciales:

La ley de ampère generalizada

Nótese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificarcon ayuda de una adecuada elección del gauge.
Consecuencias físicas de las ecuaciones
Las ecuaciones de Maxwell llevan implícitas el principio de conservación de la carga. El principio afirma que la carga eléctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que únicamente se transfiere; y que si en una superficie cerrada está disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haberun flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente satisfacen una ecuación de continuidad.
A partir de la forma diferencial de la ley de Ampère se tiene:

que al remplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que (para cualquier vector ), se obtiene:

o bien en forma integral:

Segundo par de ecuaciones de Maxwell
Correspondena las ecuaciones homogéneas. Escritas en forma geométrica tenemos que:

Que corresponde con la expresión en los sistemas coordenados Lorentz:

Donde el tensor es el tensor dual de F. Se obtiene mediante el operador de Hodge.
Obtención de las ecuaciones
* Para :

Por tanto:

* Para se obtiene la ecuación vectorial:

La propiedad reproduce las ecuaciones de Maxwell internas, que sepuede expresar como , que se puede escribir en los sistemas coordenados Lorentz como:

Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que describen el campo electromagnético en la siguiente tabla. La primera columna son las relaciones geométricas, independientes de cualquier observador; la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado...