Rotacion y rodadura
Páginas: 5 (1019 palabras)
Publicado: 11 de mayo de 2011
Rotación y Rodadura
Decimos que un cuerpo rígido rueda sin deslizar cuando el punto de contacto del mismo sobre la superficie de apoyo permanece instantáneamente en reposo. En este caso, la velocidad de su centro de masas depende de la velocidad angular ω del sólido la según la relación siguiente, donde R es el radio del cuerpo:
v R cm = ω
El sentido físico de la ecuación, conocida comocondición de rodadura sin deslizamiento, es el siguiente: cuando el cuerpo rígido rueda sin deslizar, su centro de masas (c.m.) recorre en un intervalo de tiempo dado una distancia igual al arco que recorre un punto cualquiera situado en su periferia. El punto de contacto entre el sólido y la superficie sobre la que rueda se encuentra así instantáneamente en reposo: decimos que rueda sin deslizarprecisamente porque la velocidad relativa del punto de contacto y la superficie es nula. En la figura 1 se ha esquematizado la situación para un cuerpo regular de sección circular y radio R (una esfera o un cilindro): en 1(a) se presenta la situación en un instante arbitrario, cuando la línea que une el c.m. con un punto P forma un ángulo θ con la vertical; en 1(b) tenemos la evolución delmovimiento: el c.m. se desplaza hacia la derecha, y como el punto de contacto con el suelo permanece instantáneamente en reposo, tanto el c.m. como P se desplazan la misma distancia d. Entonces se cumple d = θR, y derivando esta relación respecto al tiempo se obtiene la ecuación (1). La figura 1(b) presenta en trazo discontinuo la situación inicial; en trazo continuo, la situación final, una vez el punto Pha tomado contacto con el suelo.
Figura 1. Rodadura sin deslizamiento de un cuerpo rígido regular girando
Con velocidad angular ω. Ver explicación en el texto.
RODADURA SOBRE UN PLANO INCLINADO
Un aspecto del movimiento de rodadura que reviste la mayor importancia se refiere al rozamiento entre el cuerpo rodante y la superficie sobre la que se apoya. Consideremos un ejemplo habitualde rodadura, la caída de un cuerpo regular como una esfera o un cilindro a lo largo de un plano inclinado. El peso del cuerpo tiene una componente paralela al plano inclinado, la cual puede considerarse aplicada en su c.m., mientras que la fuerza de rozamiento se aplica en el punto de contacto. En la figura 2 se esquematiza el diagrama de sólido libre correspondiente: la componente del pesoperpendicular a la superficie inclinada (Mg cos θ) es compensada por la reacción normal N del plano; la componente paralela (Mg sen θ) y la fuerza de rozamiento FR originan un par de fuerzas cuyo resultado es la rodadura.
Figura 2. Esfera o cilindro rodando sobre un plano inclinado
un ángulo θ (diagrama de sólido libre).
Nótese que al encontrarse el punto de contacto entre el cuerpo rígido y elplano
inclinado instantáneamente en reposo sobre la superficie, la fuerza de rozamiento es estática -no dinámica- y no disipa energía. La fuerza de rozamiento estática puede alcanzar un valor máximo dado por el producto del coeficiente de rozamiento μe y la normal N: FR ≤ μeN. Como la fuerza de rozamiento y la componente del peso paralela al plano (Mg sen θ) originan el par que hace girar alcuerpo, el movimiento será de rodadura sin deslizamiento mientras que dicha componente Mg sen θ no supere a la fuerza de rozamiento estática máxima; pero si μe N ≤ Mg sen θ, existirá una componente neta de aceleración dirigida hacia abajo del plano inclinado que hará deslizar el cuerpo además del movimiento de rodadura, con lo cual su aceleración de caída será mayor que la correspondiente a larodadura sin deslizamiento. Puede demostrarse que el cuerpo empieza a deslizar cuando el ángulo del plano inclinado es θ = arc tg μe. También puede demostrarse empleando argumentos cinemáticos o a partir de la conservación de la energía que la aceleración con que se mueve sobre el plano inclinado un cilindro o una esfera rodando sin deslizar es:
La aceleración del sistema viene dada por:
donde m1...
Decimos que un cuerpo rígido rueda sin deslizar cuando el punto de contacto del mismo sobre la superficie de apoyo permanece instantáneamente en reposo. En este caso, la velocidad de su centro de masas depende de la velocidad angular ω del sólido la según la relación siguiente, donde R es el radio del cuerpo:
v R cm = ω
El sentido físico de la ecuación, conocida comocondición de rodadura sin deslizamiento, es el siguiente: cuando el cuerpo rígido rueda sin deslizar, su centro de masas (c.m.) recorre en un intervalo de tiempo dado una distancia igual al arco que recorre un punto cualquiera situado en su periferia. El punto de contacto entre el sólido y la superficie sobre la que rueda se encuentra así instantáneamente en reposo: decimos que rueda sin deslizarprecisamente porque la velocidad relativa del punto de contacto y la superficie es nula. En la figura 1 se ha esquematizado la situación para un cuerpo regular de sección circular y radio R (una esfera o un cilindro): en 1(a) se presenta la situación en un instante arbitrario, cuando la línea que une el c.m. con un punto P forma un ángulo θ con la vertical; en 1(b) tenemos la evolución delmovimiento: el c.m. se desplaza hacia la derecha, y como el punto de contacto con el suelo permanece instantáneamente en reposo, tanto el c.m. como P se desplazan la misma distancia d. Entonces se cumple d = θR, y derivando esta relación respecto al tiempo se obtiene la ecuación (1). La figura 1(b) presenta en trazo discontinuo la situación inicial; en trazo continuo, la situación final, una vez el punto Pha tomado contacto con el suelo.
Figura 1. Rodadura sin deslizamiento de un cuerpo rígido regular girando
Con velocidad angular ω. Ver explicación en el texto.
RODADURA SOBRE UN PLANO INCLINADO
Un aspecto del movimiento de rodadura que reviste la mayor importancia se refiere al rozamiento entre el cuerpo rodante y la superficie sobre la que se apoya. Consideremos un ejemplo habitualde rodadura, la caída de un cuerpo regular como una esfera o un cilindro a lo largo de un plano inclinado. El peso del cuerpo tiene una componente paralela al plano inclinado, la cual puede considerarse aplicada en su c.m., mientras que la fuerza de rozamiento se aplica en el punto de contacto. En la figura 2 se esquematiza el diagrama de sólido libre correspondiente: la componente del pesoperpendicular a la superficie inclinada (Mg cos θ) es compensada por la reacción normal N del plano; la componente paralela (Mg sen θ) y la fuerza de rozamiento FR originan un par de fuerzas cuyo resultado es la rodadura.
Figura 2. Esfera o cilindro rodando sobre un plano inclinado
un ángulo θ (diagrama de sólido libre).
Nótese que al encontrarse el punto de contacto entre el cuerpo rígido y elplano
inclinado instantáneamente en reposo sobre la superficie, la fuerza de rozamiento es estática -no dinámica- y no disipa energía. La fuerza de rozamiento estática puede alcanzar un valor máximo dado por el producto del coeficiente de rozamiento μe y la normal N: FR ≤ μeN. Como la fuerza de rozamiento y la componente del peso paralela al plano (Mg sen θ) originan el par que hace girar alcuerpo, el movimiento será de rodadura sin deslizamiento mientras que dicha componente Mg sen θ no supere a la fuerza de rozamiento estática máxima; pero si μe N ≤ Mg sen θ, existirá una componente neta de aceleración dirigida hacia abajo del plano inclinado que hará deslizar el cuerpo además del movimiento de rodadura, con lo cual su aceleración de caída será mayor que la correspondiente a larodadura sin deslizamiento. Puede demostrarse que el cuerpo empieza a deslizar cuando el ángulo del plano inclinado es θ = arc tg μe. También puede demostrarse empleando argumentos cinemáticos o a partir de la conservación de la energía que la aceleración con que se mueve sobre el plano inclinado un cilindro o una esfera rodando sin deslizar es:
La aceleración del sistema viene dada por:
donde m1...
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