Rotaciones en el plano

Rotaciones en el plano

Cambio de base o rotación de un vector.
Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y, descrito vectorialmente a través de sus componentes:

La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre elvector (multiplicando al vector:

En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido antihorario:

siendo

las componentes del nuevo vector después de la rotación.
Las rotacionesen el plano pueden tratarse igualmente mediante números complejos, ya que eiα es una rotación de ángulo a

Como parte de la descripción del movimiento de rotación de un sistema, ante todo es importante profundizar en la definición de este tipo de cambio. Estamos en presencia de un movimiento de rotación cuando todos los puntos del cuerpo se mueven describiendo circunferencias con diferentesvelocidades entorno a un eje. Este eje, denominado eje de rotación, lo forman puntos inmóviles y puede estar dentro del cuerpo o fuera de este. A diferencia del movimiento de traslación cada punto del cuerpo que rota realiza un movimiento con características diferentes (rapidez, aceleración). Esta es una importante razón por lo que no podemos  analizar el movimiento de un solo punto (modelo de lapartícula), como en el caso de la traslación pura. En el caso del movimiento de rotación debemos considerar todos los puntos del cuerpo, es decir considerar sus dimensiones.
Para el estudio del movimiento de rotación vamos a considerar el movimiento de sólidos que no se deforman, por tanto la distancia entre los puntos que lo forman es siempre constante. Este modelo de sólido que no se deforma recibeel nombre de sólido rígido. La introducción de este modelo nos permitirá estudiar el movimiento de rotación de muchos sistemas reales, que para deformarlos se requiere una interacción de gran magnitud, comportándose, con muy buena aproximación, como sólidos rígidos.
Cuando analizamos el movimiento circunferencial uniforme de una partícula se definió la posición y el desplazamiento angular de unapartícula, así como la velocidad angular de la misma. Estos conceptos debemos retomarlos en el estudio del movimiento de rotación de un sólido, considerando que todas sus partículas describen circunferencias alrededor del eje de rotación.
Si examinamos el movimiento de rotación de un disco o una rueda de bicicleta, podemos analizar la posición angular y el desplazamiento angular de uno de suspuntos.

 
En la figura se representa dos posiciones de un punto del cuerpo que rota. En el instante inicial  la posición angular del punto se denota por el ángulo de amplitud  con respecto al eje x. Al transcurrir el intervalo de tiempo Dt, el cuerpo se encuentra en otra posición angular q . La magnitud que caracteriza el cambio en la posición angular del cuerpo  se denomina desplazamientoangular y se denota por Dq , esto lo conocías del estudio del movimiento circunferencial uniforme.
En el sistema internacional de unidades la posición angular y el desplazamiento angular se miden en radian. Debemos recordar que las magnitudes vectoriales tienen módulo, dirección, sentido y cumplen con determinadas operaciones básicas, como la suma vectorial. Para cambios en la posición angular de uncuerpo lo suficientemente pequeños, el desplazamiento angular puede considerarse una magnitud física vectorial. El desplazamiento angular coincide con la dirección del eje fijo de rotación.
El sentido del vector desplazamiento angular puede determinarse aplicando la regla de la mano derecha. En este caso se toma el eje de rotación con la mano derecha y cerramos los cuatro dedos en el sentido de...