ROTOTRASLACION DE CONICAS

ROTACION DE EJES COORDENADOS

Se tienen dos sistemas coordenados ortonormales, los cuales comparten el origen de coordenadas. El ángulo entre pares de ejes homólogos es
Un punto P cualquiera del plano tiene coordenadas con referencia al sistema y coordenadas con referencia al sistema

Para encontrar la relación entre estos sistemas se debe observar la figura:


lo cual esequivalente a:

Por lo tanto cuando se quiera encontrar la ecuación de algún lugar geométrico rotado un ángulo (sentido antihorario de x a ) se deben de usar de estas ecuaciones de transformación
Recordemos que la ecuación mas general de segundo grado tiene la forma:
Donde A, B, C, D, E, F son números reales, con A, B, C no nulos simultáneamente.
Demostraremos que siempre es posible rotar los ejesde modo que en el nuevo sistema no haya término
Para eso tomamos las ecuaciones
y reemplazamos en la ecuación general de segundo grado. Entonces tenemos:


Sumando estas ecuaciones, obtenemos (después de desarrollar el segundo miembro):
;
Donde son abreviaturas de:

Nuestro propósito es escoger de modo que el término en no aparezca para que sea cero. Igualamos a cero y vemos que ocurre:Recordemos de la trigonometría: y
Y escribimos o bien
En otras palabras, si elegimos de modo que , obtenemos quesea cero. Siempre existe un ángulo entre 0 y que satisface esta ecuación.

En vez de la expresión ; podríamos usar

ROTOTRASLACION DE CONICAS

Una ecuación cuadrática en dos variables es de la forma:
(a)
Donde A, B, C, D, E, F son números reales, con A, B, C no nulossimultáneamente.
La ecuación anterior representa una cónica rotada (ya sea una cónica no degenerada: elipse, hipérbola o parábola, o una cónica degenerada: par de rectas o puntos). El término bxy indica la rotación, es decir, el eje focal no es paralelo a ninguno de los ejes coordenados x, y con respecto a los cuales está expresada la cónica.
La ecuación (a) puede escribirse en forma matricial como:


SiendoObservemos que la matriz A es una matriz simétrica.
Para identificar a la cónica debemos escribir la ecuación en otro sistema de coordenadas, rotado con respecto al sistema original, de modo que la cónica tenga su eje focal paralelo a alguno de los ejes de este nuevo sistema de coordenadas cartesianas
Para encontrar este nuevo sistema de coordenadas será necesario diagonalizar la matriz A,esto permitirá anular el coeficiente b del término rectangular lo cual significa que la cónica estará expresada en un nuevo sistema de coordenadas con respecto al cual el eje focal será paralelo, y podremos así identificar a la cónica. Además por ser la matriz A simétrica, su diagonalización será ortogonal, y sus autovectores normalizados generan el nuevo sistema de coordenadas.
El método pararototrasladar una cónica consiste en:
1) Encontrar los autovalores de la matriz A.
2) Encontrar los autovectores normalizados de la matriz A: .
3) La matriz P que diagonaliza orgonalmente a la matriz A es
Donde el orden de las columnas debe ser tal que , esto nos asegura que se produzca solamente una rotación de ejes.
Como P es una matriz ortogonal,

4) La ecuación de la cónica en el nuevo sistemade coordenadas es:

O en forma compacta
Resulta:
Y en esta ecuación no aparece el término xy, luego podemos identificar a la cónica






EJEMPLO 1:
Sea identificar la cónica mediante una rototraslación conveniente y graficar.
Escribimos la ecuación en forma matricial como:

Como A es simétrica, diagonalizamos ortogonalmente, para lo cual debemos encontrar sus autovalores y autovectoresa) Cálculo de los autovalores:

(ecuación característica)
Los autovalores son
b) Cálculo de los autovectores:
i) Autovector correspondiente al autovalor ,
normalizando el autovector,
ii) Autovector correspondiente al autovalor ,
normalizando el autovector,
Luego la matriz P que diagonaliza a la matriz A es además , luego el orden de las columnas es el correcto.
Entonces...