Rouge-Cuta 1Er Orden

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BAJA CAIFORNIA
CIENCIAS QUIMICAS E INGENIERIA
Tijuana, Baja California.


Materia:
METODOS NUMERICOS

TAREA:
“EXPOSICION METODO DE ROUGE-KUTTA”


Integrantes:
JUAN CARLOS PADILLA DURAN
OSVALDO LOPEZ MONTOYA
JESUS MARAVILLA MEZA



ASESOR:
ANDRES MEJIA FIGUEROATijuana, Baja California a 28 de Noviembre del 2012

MÉTODO DE RUNGE - KUTTA

[pic]
En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden
|Y' = f(X, Y) | |(7) |


Con la condición inicial
|Y(X0) = Y0 | |(8) |


Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia
|Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n =1, 2, 3, ... | |(9) |


Para determinar la solución de la ecuación diferencial en
X = X1, X2, X3, ...
Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (7), en (9), se tiene que
|Yn+1 = Yn + h Y'n | |(10) |


Expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto,al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.
|[pic] |

De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por latangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica:
|[pic]|


Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden de [pic]definido por la expresión
|[pic] | |(11) |


En donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:
X = Xn+1
Y = Yn + h f(Xn, Yn)
Observando las expresiones para resolver la ecuacióndiferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
|[pic] | |(12) |


En donde
|[pic] | |(13) |


En el método de Euler y
|[pic] | |(14) |


En lo que
|Y' = f(X, Y) | |(15)|


En el método de Euler Mejorado.
Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común:
1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior.
2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(X, Y).
Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidoscomo de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la función [pic]que aparece en la expresión (12).
La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso, está expresado en el punto (2) anterior; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X, Y) y de ninguna derivada, mientrasque la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor.
Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de [pic], de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama...