Rout Herwitz

Breve estudio de la
Estabilidad
y
Criterios de Estabilidad en
Sistemas Continuos

ETSII
Junio de 2005
Javier Ibáñez Sivera
Juan Martinez Vázquez
Javier Nicolás García

Estabilidad y criterios de estabilidad en
sistemas continuos
A lo largo del trabajo vamos a emplear la definición de estabilidad de entrada
acotada - salida acotada, también conocida como estabilidad BIBO por sussiglas en
inglés (Bounded Input - Bounded Output).
Un sistema dinámico es BIBO estable si cualquier entrada acotada produce una
salida acotada. En otras palabras, si ante entradas de valor finito la respuesta (su valor
absoluto) no tiende a infinito.
Las funciones continuas cuyos valores absolutos crecen indefinidamente tienen
sus polos en el semiplano derecho. Si una función de transferenciatiene uno de sus
polos en esa zona la respuesta natural tenderá a infinito, independientemente del valor
de la entrada, y por tanto el sistema será inestable.
En consecuencia, para asegurar que un sistema dinámico lineal sea estable, todos
los polos de su función de transferencia deben estar en el semiplano izquierdo. Basta
con que un polo esté en el semiplano derecho para que el sistema seainestable. Si existe
un polo en el eje imaginario, es decir, en la frontera entre los semiplanos derecho e
izquierdo, se dice que el sistema es marginalmente estable.
Manejaremos sistemas retroalimentados, que tienen la ventaja de poder
comprobar los valores de las señales e, introduciendo un parámetro variable que
variaremos a nuestro antojo, tantearemos la evolución de nuestro sistema. Elesquema
de un sistema realimentado es:

y su función de transferencia vendrá dada por esta expresión, que más adelante
emplearemos.

Pasemos a estudiar el arreglo de Routh-Hurwitz.

1 Arreglo y criterio de Routh-Hurwitz
Dado que la estabilidad de un sistema dinámico está determinada por la
ubicación de los polos de su función de transferencia, es decir por la ubicación de las
raíces deun cierto denominador, planteamos ahora el siguiente problema:
¿Cómo determinar si las raíces de un polinomio como (1) están ubicadas
todas en el semiplano izquierdo?
(1)

Antes de contestar esta pregunta, hacemos notar lo siguiente:
•
•

Si el polinomio tiene coeficientes de signos diferentes, o coeficientes cero,
entonces tiene al menos una raíz en el semiplano derecho o en el ejeimaginario.
Si el polinomio tiene todos sus coeficientes del mismo signo, no podemos
extraer conclusiones a priori sobre la ubicación de sus raíces.

Para demostrar lo anterior, supóngase primero que el polinomio tiene sólo raíces
reales, y por tanto puede factorizarse así:
(5.16)

Si las raíces αι son todas negativas, los términos - αι serán todos positivos, y en general
tendrá todos loscoeficientes positivos. De esta
el producto
forma, los coeficientes de (1) serán todos positivos o todos negativos, dependiendo del
signo de G en (2). Por esta razón, si p(s) tiene coeficientes de signos diferentes o cero,
necesariamente al menos un término - αι debe ser negativo, lo que implicaría que
tendría al menos una raíz positiva (en el semiplano derecho).
Ahora supóngase que (1) tienedos raíces complejas conjugadas:
(3)

El producto de los términos que tienen que ver con las raíces complejas es:
(4)

Si
, es decir si las raíces están en el semiplano izquierdo, (4) tendrá sólo
coeficientes positivos, y por tanto (1) tendrá todos sus coeficientes del mismo signo
(positivos si G es positiva y negativos si G es negativa).
Como consecuencia de lo anterior, si (1) tienecoeficientes de signos diferentes,
o cero, podemos asegurar que tiene una o más raíces en el semiplano derecho o en el eje
imaginario. Si por el contrario tiene todos los coeficientes de igual signo, es necesario
realizar otro tipo de pruebas antes de establecer la ubicación de sus raíces. Una de esas
pruebas se conoce como la prueba de Routh-Hurwitz, para lo cual es necesario primero...