Routh Horwitz

M´todo de Routh-Hurwitz
e
Margarita Ochoa G. y Rub´n Vel´zquez C.
e
a
September 7, 2009

Contents
1 Criterio de Estabilidad de Routh - Hurwitz
1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2 Procedimiento para el criterio de Routh-Hurwitz
1.2.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2
2
3
5
6

Chapter 1
Criterio de Estabilidad de
Routh - Hurwitz
1.1

Introducci´n
o

Una de las condiciones m´s importantes para el dise˜o de sistemas de control
a
n
lineales invariantes en el tiempo es la estabilidad. Como se sabe, un sistema
de control es estable si y solo si todos suspolos en lazo cerrado tienen parte
real neagtiva; es decir, que se encuentran dentro del semiplano izquierdo del
plano complejo. Por otro lado, si al menos uno de los polos del lazo cerrado
se encuentra en el semiplano derecho, entonces el sistema es inestable.
En muchos de los casos, el modelo matem´tico reducido se encuentra
a
expresado como una funcin de transferencia (para sistemas unaentrada una salida) o bien en ecuaciones de estado (sistemas multi entrada - multi
salida). En ambos casos, es posible extraer el polinomio caracter´
ıstico del
sistema:
En la funci’on de transferencia es el polinomio del denominador,
b0 sm + b1 sm−1 + · · · + bm−1 s + bm
Y (s)
=
R(s)
a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an
mientras que en ecuaciones de estado se define como
P (s) = det[sI− A]−1 = a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an

2

Para determinar la estabilidad del sistema se debe factorizar el polinomio
caracter´
ıstico como el producto de sus ra´
ıces y as´ determinar su ubicaci´n
ı
o
en el plano complejo. Lo anterior resulta poco pr´ctico si no se cuenta con
a
una calculadora cient´
ıfica avanzada o bien una computadora que auxilie en
el c´lculo de las ra´
aıces. Sin embargo, existe un m´todo simple conocido como
e
Criterio de Estabilidada de Routh-Hurwitz, en el que no es necesario calcular
las ra´
ıces del polinomio caracter´
ıstico y permite saber la cantidad de polos
en lazo cerradoque se encuentran en el semiplano derecho construyendo un
sencillo arreglo basado en los coeficientes constantes del polinomio caracter´
ıstico.

1.2Procedimiento para el criterio de RouthHurwitz

El criterio de Routh-Hurwitz indica si existen o no ra´
ıces inestables en una
ecuaci´n polinomial, sin tener que calcularlas en realidad. Cabe mencionar
o
que este criterio solo aplica para polinomios con cantidad finita de t´rminos.
e
Cuando se aplica a un sistema de control, la informaci´n sobre la estabilidad
o
absoluta se obtienedirectamente de los coeficientes de la ecuaci´n caraco
ter´
ıstica. El procedimiento de muestra a continuaci´n:
o
1. Escribir el polinomio caracter´
ıstico en forma totalemente desarrollada:
a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an = 0
2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de
al menos un coeficiente positivo, entonces existe una o m´s ra´ con
a
ıces
parte real positiva(inestables). Si este es el caso y solo se desesa
saber la estabilidad del sistema, entonces no es necesario continuar
con el procedimiento. Para que un sistema sea estable, una condici´n
o
necesaria m´s no suficiente es que todos los coeficientes del polinomio
a
caracter´
ıstico sean positivos y diferentes de cero.
3. Si todos los coeficientes son positivos; o bien, si se desea saber cuntasra´
ıces inestables existen, entonces se ordenan los coeficientes del
polinomio formando el siguiente arreglo:

sn
sn−1
sn−2
.
.
.

a0
a1

a2
a3

a4
a5

···
···

s0
4. A continuaci´n se llenan el resto de las filas:
o
sn
sn−1
sn−2
sn−3
.
.
.

a0
a1
b1
c1
.
.
.

a2
a3
b2
c2
.
.
.

s2
s1
s0

e1
f1
g1

e2

a4
a5
b3
c3

···
···...