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PROBLEMAS DE AMPLIACION DE MATEMATICAS (Plan 2010)
Curso 2011-2012
24 de enero de 2012

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Problemas de AMPLIACION DE MATEMATICAS

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2011/2012

1. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
1. Campos escalares. Derivadas direccionales. Gradiente.
2. Campos vectoriales. L´
ıneas de campo. Divergencia y rotacional.

PROBLEMAS
1. Raz´nese si son verdaderas o falsas las siguientesafirmaciones:
o
a ) Sea F (x, y, z ) = (f (x), g (y ), h(z ))
div (F ) = 0.

diferenciable en IR3 . Entonces rot(F ) = ¯
0

y

b ) Sea F (x, y, z ) = (y +2y 2 + ayz 3 )i +(x +4xy + axz 3 )j +(3axyz 2 )k . Entonces F = grad(U ),
siendo U un campo escalar, s´lo cuando a > 0.
o
c ) Sea F : IR3 → IR3 de clase 2 en IR3 y G(x, y, z ) =
div (G) = 0 si a = −1.

× F + (ax + y 2 )i + (2x2 + y )j ,entonces

d ) No existe un campo vectorial de clase C 2 sobre IR3 cuyo rotacional sea el campo r(x, y, z ) =
(x, y, z ).
2. Supuesto que el campo F (x, y, z ) = (2y 2 − 3z 4 y, yx2 + 3 cos(xz ), F3 ) representa el campo de
velocidades de un fluido, determinar F3 = f3 (x, y, z ), para que el fluido sea incompresible.
3. Calcular las l´
ıneas de rotor del campo vectorial F (x, y, z ) = (xy, z,x). Obtener la que pasa por
(0, 0, 0).
4. Un insecto se halla en un medio ambiente t´xico. El nivel de toxicidad est´ dado por T (x, y ) =
o
a
2
2
2x − 4y . El insecto est´ en (1, 2). ¿En que direcci´n deber´ moverse para disminuir lo m´s
a
o
a
a
rapidamente posible la toxicidad?
5. La temperatura en cada punto de una placa met´lica viene dada por T (x, y ) = 5 + x2 − y 2 .
a
Hallarel camino trazado por una part´
ıcula rastreadora de calor que parte del punto (−2, 1).
6. El laplaciano de un campo escalar f se denota por ∆f y es igual a la divergencia del gradiente
de f . Calcule el laplaciano de f (x, y, z ) = exy + z 2 y + xz . ¿Cu´nto vale ∆f (0, 1, 2)?
a

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Problemas de AMPLIACION DE MATEMATICAS

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2011/2012

2. INTEGRAL DE L´
INEA
1. Funci´npotencial. C´lculo de la funci´n potencial.
o
a
o
2. Concepto de integral de l´
ınea.
3. Campos conservativos. Teorema de caraterizaci´n decampos conservativos.
o
4. Condici´n de existencia de la funci´n potencial.
o
o

PROBLEMAS
2yx2 dx + 3xy dy siendo Γ la curva que une A = (4, 0) con

1. Calc´lese la integral de l´
u
ınea
Γ

B = (0, 4) mediante:
a ) el segmento de recta que une A yB , desde A hasta B .
b ) la circunferencia de centro el origen pasando por A y B , desde A hasta B (por el primer
cuadrante).
2. Sea la forma diferencial (2xyz )dx +(x2 z +2yez )dy +(x2 y + y 2 ez )dz ¿Admite funci´n potencial?
o
En caso afirmativo, h´llese dicha funci´n potencial.
a
o
3. Raz´nese si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
o
a ) Si Γ es la curva x2 + y 2 = 1, y ≥ 0, que va desde (1, 0) hasta (−1, 0), se verifica que
y 3 + 1 dx + (3xy 2 + 1) dy = −4
Γ

x2 + y dx + (3x + y ) dy − z 2 dz = 0 siendo

b ) La integral
Γ

Γ≡

c ) La integral de l´
ınea

F=
Γ


 x = cos(πt)
y = sen(πt)
γ1 ≡

z=0

0 ≤ t ≤ 1,

1
2

(x − 1)2 + z 2 = 1
y=0
siendo

F (x, y, z ) = (0, 0, z ), Γ = γ1 ∪ γ2 ∪ γ3


 x = −1
y=0
γ2 ≡

z=t0 ≤ t ≤ 1,


 x = cos(πt)
y = sen(πt)
γ3 ≡

z=1

1≤t≤2

F (x, y, z ) = −exyz y z i + xz j + xy k
el
√√π
trabajo realizado al moverse una part´
ıcula desde el punto A =
2, 2,
al punto
2
B = (0, 2, π ) siguiendo el camino rectil´
ıneo es menor que haci´ndolo sobre la curva
e
γ (t) = (2 cos(2t), 2 sen(2t), 4t)

d ) Bajo el efecto del campo vectorial de fuerzas

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´Problemas de AMPLIACION DE MATEMATICAS

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2011/2012

4. H´llese el trabajo realizado por una part´
a
ıcula sometida al campo de fuerzas F (x, y ) = (y, x)
cuando recorre las curvas:
a ) Γ ≡ y = x entre los puntos (0, 0) y (1, 1).
b ) Γ ≡ y = x2 entre los puntos (0, 0) y (1, 1).
c ) Γ ≡ y = x3 entre los puntos (0, 0) y (1, 1).
d ) Γ ≡ y = x3 (x − 1) ln(x + 2) + x entre los puntos...