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Un previo al Cálculo
El Cálculo es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicación del Cálculo Diferencial e Integral, es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones, es también la matemática de las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros yeconomistas puedan modelar situaciones de la vida real.
Una diferencia fundamental entre las matemáticas previas y el propio Cálculo, es que las primeras son más estáticas, en tanto que el Cálculo es más dinámico, podríamos definir al Cálculo como la parte de las matemáticas que trata con límites.
Orígenes
Los orígenes del Cálculo se remontan unos 2500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos,quienes hallaron áreas aplicando el “método de agotamiento”. Sabían cómo hallar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos (método de triangulación), y sumar las áreas de estos triángulos. Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sim embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo utilizo el agotamiento para probar la conocida formula del área de un circulo.
Zenon de Elea,planteo una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumento que el movimiento es imposible: si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio B2 de AB1. Sin embargo Arquimedes. Hizo una de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de una parábola es 4/3 delárea del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito.
Descartes produjo un importante método para determinar normales en la Geometri en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplico a las tangentes; en este caso la doble intersección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamadola Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia sobre Newton.
Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente unaconcienciación de la inversa de la diferenciación y que Borrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de la otra. Newton continuaría en la misma dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.
El Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer alvacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño.
Sir Isaac Newton fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole, Newton concibió el llamado Método de las Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye. Casial mismo tiempo, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibriz realizo investigaciones similares.

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El problema del área
El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puedetriangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el termino área como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría...