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Lógica Matemática (Sistemas)
Examen Primera Semana Junio 2006
José Luis Fernández Vindel

Julio 2006

Resumen
Este documento es un desarrollo comentado del examen de la Primera Semana de Junio 2006. Resulta muy explícito y repetitivo: se conrman las respuestas correctas y se descartan razonadamente las
incorrectas. Resulta, por tanto, un documento que hay que leer reposadamente,prestando atención a los
detalles.
El alumno no necesita desarrollar todos los argumentos mostrados para contestar adecuadamente al
examen. Esperamos, no obstante, que resulte un documento de apoyo suciente para la preparación de la
convocatoria de Septiembre 2006 y otras posteriores.
En cualquier documento, conforme aumenta el nivel de detalle aumentan también las posibles erratas.
Si encuentraalguna le agradeceríamos que las noticara (jlvindel@dia.uned.es). En todo caso, hay un alto
nivel de redundancia, de repeticiones de los mismos tipos de operaciones y razonamientos; y conamos en
que pueden ayudarle a subsanar las erratas, si las hubiera.

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Lógica Matemática (Sistemas)
Junio 2006
Tipo: A
Duración: 2 horas
Código: 53-110
Material: Ninguno
Solicite una hoja de lecturaautomática. Marque en ella las respuestas del test y

conteste a la pregunta de desarrollo en el reverso de esa hoja de lectura óptica.

Corrección del examen Test, 9 puntos; desarrollo, 1. Test (18 preguntas): correcta, +0'5; incorrecta,
-0'25; en blanco, -0. Desarrollo: se

corregirá sólo si se han obtenido al menos 7'5 puntos de los 9 del test

.

Notas de corte El aprobado seobtiene con, al menos, 5 puntos (no 4'75 o 4'8). Otro tanto cabe decir

del notable (7), de la nota de corrección del desarrollo (7'5) y del sobresaliente (9). La matrícula de honor
se asignará sólo a quien obtenga 10.

Datos
X1
X2
X3
X4

:
:
:
:

(p ∧ ¬q) → ¬r
(¬r ∨ ¬s) ∧ p
(s ∨ t) → (¬s ∧ q)
¬p ∧ (¬q → t)

I X : p = 1, q = 0, r = 0, s = 0, t = 0

Y1
Y2
Y3
Y4

:
:
:
:∃zQz → ¬∃yQy
∀x¬Qx → ∀y(P y → M y)
∃z(P z ∧ ¬M z)
∀x(P x ↔ M x)

I Y : dominio U = {1, 2}, con
P = {1}, Q = M = ∅

Z1
Z2
Z3
Z4

:
:
:
:

∀x∃y(Rxy ∧ Syx)
∀x(Rxx ↔ Sxx)
∃y∀z(Rzy ∧ ¬Syz)
∃z∃x(Szx → ¬Rxz)

I Z : dominio U = {1, 2}, con
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
S = {(2, 1), (2, 2)}
W
Iα : dominio U = {1, 2}, con
S = {(1, 1)}, R = {(1, 2), (2, 1)}
a = 1; f (1) = 1,f (2) = 1

W1 : ∀xRxf (x) → ∃y(Say ∧ y = a)
W2 : ∀x∃y(Rxy ∧ Saf (y))

W
Iβ : dominio U = {1, 2}, con
S = {(1, 1)}, R = {(1, 2), (2, 1)}
a = 1; f (1) = 2, f (2) = 2

Test
1. Es satisfacible:
a ) {X1 , X2 , X4 }
b ) {X1 , X3 , X4 } ⇐
c ) {X2 , X3 , X4 }
2. Es insatisfacible:
a ) X1 ∧ X3
b ) X2 ∧ X3
c ) X2 ∧ X4 ⇐
3. Es consecuencia:
a ) X1 , X3 |= ¬X4
b ) X2 , X4 |= X3 ⇐
c ) X1, X3 |= ¬X2
4. Es tautología:
a ) X4 ∧ X2 → ¬X3 ⇐

) X1 ∧ X4 → ¬X3
c ) X1 ∧ X3 → ¬X4
5. La interpretación I X no satisface:
a ) {X1 , X3 }
b ) {X2 , X3 }
c ) {X2 , X4 } ⇐
6. X3 es equivalente a:
a ) (¬s ∨ ¬t) ∧ (¬s ∨ q)
b ) (¬s ∧ ¬t) ∨ (¬s ∧ q) ⇐
c ) (¬s ∨ ¬t) ∨ (¬s ∧ q)
7. Es insatisfacible:
a ) {Y3 , Y4 } ⇐
b ) {Y1 , Y2 }
c ) {Y1 , Y3 }
b

2

8. Es satisfacible:
a ) {Y1, Y3 , Y4 }
b ) {Y1 , Y2 , Y3 }
c ) {Y1 , Y2 , Y4 } ⇐
9. La interpretación I Y no satisface:
a ) Y2 ⇐
b ) Y1
c ) Y3
10. Y2 no es equivalente a:
a ) ∃x∀y(Qx ∨ ¬P y ∨ M y)
b ) ∀y∃x(Qx ∨ ¬P y ∨ M y)
c ) ∀x∀y(Qx ∨ ¬P y ∨ M y) ⇐
11. Es consecuencia:
a ) Y1 , Y3 |= ¬Y1
b ) Y2 , Y3 |= ¬Y1 ⇐
c ) Y1 |= ¬Y3
12. No es tautología:
a ) Y3 → Y4 ⇐
b ) Y4 → ¬Y3 ∨ Y1
c ) Y4 → ¬Y3 ∨ ¬Y1
13. Esinsatisfacible:
a ) {Z1 , Z2 }

) {Z2 , Z3 } ⇐
) {Z2 , Z4 }
La interpretación I Z satisface:
a ) {Z1 , Z2 , Z3 }
b ) {Z1 , Z2 , Z4 }
c ) {Z1 , Z3 , Z4 } ⇐
Es consecuencia:
a ) Z1 , Z2 |= ¬Z3 ⇐
b ) Z1 , Z2 |= ¬Z4
c ) Z1 , Z2 |= ¬Z1
Es equivalente a Z3
a ) ∀z∃y(Rzy ∧ ¬Syz)
b ) ∃y(∀zRzy ∧ ¬∀zSyz)
c ) ∃y(∀zRzy ∧ ∀t¬Syt) ⇐
W
La interpretación Iα satisface:
a ) {W1 , ¬W2 }
b ) {¬W1...