Rueda De Vagoneta Vistas Principales

Algunas Distribuciones Discretas
La importancia de las distribuciones de probabilidad es que estas sirven para modelar el comportamiento de variables que se presentan en la vida cotidiana como también de los fenómenos que se presentan en la naturaleza. Tipos de distribuciones de v.a. Discretas: Uniforme discreta Bernoulli Binomial Poisson Geométrica Binomial Negativa, etc

Ejemplo X:puntuación obtenida al tirar un dado. N=6, entonces P(X=x)=1/6 E(X)=7/2 V(X)=35/12

Ejemplo
Un agente de seguros dedicado a la venta de seguros de vida realiza visitas a posibles clientes con el fin de contratar un seguro de vida. Se sabe de su trayectoria como agente que en el 60% de las visitas tiene éxito y contrata un seguro. Definir la variable aleatoria asociada a este experimento aleatorioy obtener la media y varianza.

Solución
El experimento aleatorio es realizar la visita a una posible cliente, y hay dos resultados posibles: conseguir que el cliente contrate el seguro (suceso éxito) o no conseguirlo (suceso fracaso). La variable aleatoria X asociada al experimento toma los valores X=1 X=0 si el cliente contrata el seguro si el cliente no contrata el seguro.

Es, portanto, una variable de tipo Bernouilli, y su función de probabilidad será P (X = 1)=0,6 = p P (X = 0)=1− 0,6 = 0,4 = q Por consiguiente, la media y la varianza valen E(X) = p = 0,6 Var(X) = pq = 0,6 · 0,4 = 0,2

Ejercicio
En un proceso de selección de personal se tendrán en cuenta las siguientes características: estudios superiores, experiencia laboral de más de un año, dominio de idiomas,conocimiento de informática. La probabilidad de cada una de estas características es 0.5, 0.7,0.3 y 0.4 respectivamente. a. Define las correspondientes v.a. de Bernoulli y calcula su esperanza y varianza. b. Suponiendo que estas características son independientes, ¿cual es la probabilidad de que un entrevistado sea contratado si ha de cumplir todas ellas?

Función de distribución:

Observación
Sidesignamos por X e Y las variables aleatorias binomiales que representan el número de éxitos y de fracasos, respectivamente, que se tienen cuando realizamos n repeticiones independientes de una prueba de Bernouilli con probabilidad de éxito p, entonces tenemos: P (X = x) = P (Y = n − x), ya que la probabilidad de obtener x éxitos lógicamente coincide con la probabilidad de obtener n − x fracasos.Ejercicio
Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad. Obtener su esperanza matemática y varianza por definición

Solución

Luego, podemos obtener

(tres gráficas con n=5 y diferentes valores p)

Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras o más al tirar 6 veces una moneda (equilibrada)? Sea X = número de caras. Por tanto se pide P(X ≥ 4) = P(4) + P(5) + P(6).Solución
• • Podemos interpretar cada moneda como una v.a. Bernoulli con prob. de cara (éxito) =0.5 6 Entonces la v.a X: número total de caras. X = Xi

∑
i=1

• •

es B(n=6,p=0.5) puesto que 1) las tiradas son independientes y 2) la probabilidad de cara es la misma en cada tirada. Por tanto: P(X ≥ 4) = P(4) + P(5) + P(6).

⎛ 6⎞ 6 P ( X = k ) = ⎜ ⎟ / 2 ⇒ P ( X ≥ 4) = (15 + 6 + 1) / 26 = 21 / 32. ⎜k⎟ ⎝ ⎠

Ejemplo Un jugador apuesta a un número del 1 al 6. Se tiran tres dados. Si el número apostado aparece k veces, k = 1, 2, 3, entonces el jugador gana k unidades; si dicho número no aparece ninguna vez, el jugador pierde una unidad. ¿Se trata de un juego justo para el apostador?

Solución
• Sea X: número de veces que al lanzar los dados el número apostado aparece. X esuna binomial con parámetros n=3 y p=1/6. • X puede tomar 4 valores 0, 1,2 y 3. Entonces
⎛ 3⎞⎛ 1 ⎞ 0⎛ 5 ⎞ 3 ⎛ 3⎞⎛ 1 ⎞1⎛ 5 ⎞ 2 125 75 P(X = 0) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = , P(X = 1) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 216 216 ⎝ 0⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 1⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎛ 3⎞⎛ 1 ⎞ 2⎛ 5 ⎞1 ⎛ 3⎞⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 5 ⎞ 0 15 1 P(X = 2) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = , P(X = 3) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = . 216 216 ⎝ 2⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 3⎠⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠

Definimos la v.a. Y: ganancia del...