Runge - kutta

Ecuaciones Diferenciales
Manuel Valenzuela Rendón
Centro de Sistemas Inteligentes Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey

Octubre 2007

M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes)

Ecuaciones Diferenciales

Octubre 2007

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Ecuaciones Diferenciales
Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

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Euler Euler Euler Modificado Runge-KuttaRunge-Kutta de cuarto orden Ejemplo: RLC RLC serie Solución analítica Variables de estado Definición Circuito RLC serie Espacio de estado Ecuaciones de Lotka-Volterra Banda de Rössler

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Euler

Dada una ecuación diferencial ordinaria de la forma dy dt se hace la aproximación Δy ΔtDe donde se tiene que Δy = f (t, y ) Δt. Tomando h ≡ Δt se obtiene la regla recursiva del método de Euler: y ← y + h · f (t, y ) Se requiere una condición inicial y (t 0 ) = y0 . ≈ dy dt . = y = f (t, y ),

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Euler

Dada una ecuación diferencial ordinaria de la forma dy dt se hace laaproximación Δy Δt De donde se tiene que Δy = f (t, y ) Δt. Tomando h ≡ Δt se obtiene la regla recursiva del método de Euler: y ← y + h · f (t, y ) Se requiere una condición inicial y (t 0 ) = y0 . ≈ dy dt . = y = f (t, y ),

M. Valenzuela (Centro de Sistemas Inteligentes)

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Euler Modificado
Escribiendo la fórmula de Euler como una ecuación entérminos de la iteración k tenemos que: yk +1 = yk + h · f (tk , yk ) El valor yk +1 anterior es una aproximación del valor real de y (t k +1 ), por lo tanto, ˆ llamémosle yk +1 : ˆ yk +1 = yk + h · f (tk , yk ) Ahora, apliquemos la misma idea de la regla recursiva de Euler, pero tomemos el ˆ promedio de f (t k , yk ) y f (tk +1 , yk +1 ): yk +1 = yk + h ˆ f (tk , yk ) + f (tk +1 , yk +1 ) 2Escribiendo esto como una regla recursiva queda: ˆ y y o lo que es lo mismo y ←y +h
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← ←

y + h · f (t, y ) y +h ˆ f (t, y ) + f (t + h, y ) 2

f (t, y ) + f (t + h, y + h f (t, y )) 2
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Euler Modificado
Escribiendo la fórmula de Euler como una ecuación en términos de la iteración k tenemos que: yk +1 =yk + h · f (tk , yk ) El valor yk +1 anterior es una aproximación del valor real de y (t k +1 ), por lo tanto, ˆ llamémosle yk +1 : ˆ yk +1 = yk + h · f (tk , yk ) Ahora, apliquemos la misma idea de la regla recursiva de Euler, pero tomemos el ˆ promedio de f (t k , yk ) y f (tk +1 , yk +1 ): yk +1 = yk + h ˆ f (tk , yk ) + f (tk +1 , yk +1 ) 2

Escribiendo esto como una regla recursiva queda:ˆ y y o lo que es lo mismo y ←y +h
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← ←

y + h · f (t, y ) y +h ˆ f (t, y ) + f (t + h, y ) 2

f (t, y ) + f (t + h, y + h f (t, y )) 2
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Euler Modificado
Escribiendo la fórmula de Euler como una ecuación en términos de la iteración k tenemos que: yk +1 = yk + h · f (tk , yk ) El valor yk +1anterior es una aproximación del valor real de y (t k +1 ), por lo tanto, ˆ llamémosle yk +1 : ˆ yk +1 = yk + h · f (tk , yk ) Ahora, apliquemos la misma idea de la regla recursiva de Euler, pero tomemos el ˆ promedio de f (t k , yk ) y f (tk +1 , yk +1 ): yk +1 = yk + h ˆ f (tk , yk ) + f (tk +1 , yk +1 ) 2

Escribiendo esto como una regla recursiva queda: ˆ y y o lo que es lo mismo y ←y +h
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← ←

y + h · f (t, y ) y +h ˆ f (t, y ) + f (t + h, y ) 2

f (t, y ) + f (t + h, y + h f (t, y )) 2
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Euler Modificado
Escribiendo la fórmula de Euler como una ecuación en términos de la iteración k tenemos que: yk +1 = yk + h · f (tk , yk ) El valor yk +1 anterior es una aproximación del valor real...